Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de théorie des probabilités

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

ÉnoncéModifier

Formulation probabilisteModifier

Soit   une variable aléatoire d'espérance   et de variance   avec   l'écart type de   (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif  ,

 

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de   de son espérance est plus petite que  . La démonstration consiste à appliquer l'inégalité de Markov   à la variable   et au réel   strictement positif compte tenu du fait que  .

Formulation généraliséeModifier

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est en fait une propriété plus forte de théorie de la mesure. Soit   un espace mesuré, et   une fonction mesurable. Soit encore   une fonction borélienne, positive, et croissante. Alors, on a la majoration suivante :

Borne de Tchebychev — Pour tout   tel que  , on a

 

Cette majoration se prouve facilement en remarquant que puisque   est croissante, on a l'inégalité  , d'où :

 

Remarquons également que si   est une mesure de probabilité, on retrouve la version probabiliste de l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev en prenant   et  . Mais on peut aussi obtenir d'autres inégalités intéressantes avec d'autres choix de   sous de bonnes conditions. Par exemple, quand la variable aléatoire   est bornée, avec   et   on obtient l'inégalité de Tchébychev exponentielle :    est la fonction génératrice des cumulants de  .

Notes et référencesModifier

  1. Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier