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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de théorie des probabilités
Ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Tchebychev pour les sommes
Ne doit pas non plus être confondue avec les inégalités de Tchebychev pour π(x)

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

Sommaire

ÉnoncéModifier

Soit   une variable aléatoire d'espérance   et de variance finie   (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif  ,

 

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de   de son espérance est plus petite que  . La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable   et au réel   strictement positif compte tenu du fait que  .

Notes et référencesModifier

  1. Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Voir aussiModifier