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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité mathématique
Ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Tchebychev pour les sommes
Ne doit pas non plus être confondue avec les inégalités de Tchebychev pour π(x)

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

Sommaire

ÉnoncéModifier

Soit   une variable aléatoire d'espérance   et de variance finie   (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif  ,

 

La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable   et au réel   strictement positif compte tenu du fait que  .

GénéralisationModifier

Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit   une variable aléatoire centrée de    est l'ensemble des réalisations,   est la tribu des événements et   la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Tchebychev peut être énoncée de la façon suivante :

Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif  ,

 

La démonstration tient entièrement au fait que pour tout   strictement positif,  . Ici,   désigne l'indicatrice de l'événement  . En prenant l'espérance de chaque côté, par monotonie, on trouve

 
On complète en divisant par   des deux côtés de l'inégalité. C.Q.F.D.

On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité. Il suffit de prendre   et   pour obtenir exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Notes et référencesModifier

  1. Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Voir aussiModifier