Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de théorie des probabilités

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

ÉnoncéModifier

Soit   une variable aléatoire d'espérance   et de variance   avec   l'écart type de   (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif  ,

 

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de   de son espérance est plus petite que  . La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable   et au réel   strictement positif compte tenu du fait que  .

Notes et référencesModifier

  1. Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier