Théorème bipolaire

En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau.

Énoncé du théorème

Pour tout ensemble non vide $C\subset X$ d'un espace vectoriel $X$, le cône bipolaire $C^{\circ \circ }=(C^{\circ })^{\circ }$ est donné par

$C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{\lambda c:\lambda \geq 0,c\in C\})$

où $\operatorname {co}$ désigne l'enveloppe convexe

Cas particulier

$C\subset X$ est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si $C^{++}=C^{\circ \circ }=C$, où  $C^{++}=(C^{+})^{+}$, et $(\cdot )^{+}$ désigne le cône dual positif.

Plus généralement, si $C$ est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par

$C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.$

Lien avec le théorème de Fenchel-Moreau 

Si $f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in C\\+\infty &{\text{sinon}}\end{cases}}$ est la fonction indicatrice d'un cône $C$. Alors la fonction convexe conjuguée $f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle$ est la fonction d'appui de $C$, et $f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})$. Donc $C=C^{oo}$ si et seulement si $f=f^{**}$.

Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.