Fonction spéciale

fonction analytique non élémentaire

L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires[note 1], qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux[note 2] et quatre[note 3].

Interférences d'ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s'interprète à l'aide des fonctions de Bessel.

Comme leurs propriétés ont été étudiées extensivement (et continuent de l'être), on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations. Non seulement elles interviennent dans l'expression des solutions exactes de certaines équations aux dérivées partielles pour des conditions aux limites particulières, mais elles fournissent, par le biais des méthodes spectrales, les meilleures approximations numériques pour des conditions aux limites quelconques.

Certaines d'entre elles jouent également un rôle de premier plan en théorie des nombres (fonction zêta de Riemann, logarithme intégral).

Liste des fonctions spécialesModifier

NotesModifier

  1. Le terme de « fonction élémentaire » désigne les fonctions polynomiales, les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques, l'exponentielle, et les réciproques de toutes ces fonctions. Toutefois, certaines familles de polynômes orthogonaux (polynômes de Legendre, polynômes de Tchebychev) sont considérés par certains auteurs comme des fonctions spéciales.
  2. Équation de Laplace, équation de Poisson, équation de Helmholtz, équation de la chaleur, équation d'onde, etc.
  3. La plus connue est l'équation biharmonique, qui intervient notamment dans l'étude de la flexion élastique.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

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