Suite de Sheffer

suite de polynômes

En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.

Définition

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Soit pn une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q pn(x) = npn–1(x) ; la famille des pn étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.

La suite pn est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f (x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un delta opérateur (en)).

Propriétés

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L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale[réf. souhaitée], définie de la manière suivante : soit { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec

 

Alors leur composé ombral   est la suite polynomiale dont le n-ème terme est

 .

L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes   (où   est le symbole de Kronecker).

Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité

 

Une suite de Sheffer { pn(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si   et  

Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si sn(x) est une suite de Sheffer et pn(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors

 

En particulier, si { sn(x) } est une suite d'Appell,

 

Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.

Une suite de Sheffer pn est caractérisée par sa série génératrice exponentielle

 

A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

Exemples

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Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes  , mais aussi :

ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.

Voir aussi

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Références

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Liens externes

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