Polynôme d'Appell généralisé
En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :
où la fonction génératrice est composée des séries :
- avec ;
- avec tous les ;
- avec .
Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré .
Cas particuliers
modifier- Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke.
- Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer.
- Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.
Représentation explicite
modifierLes polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
- .
Le coefficient est
où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :
- .
Relations de récurrence
modifierDe manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que
où et ont un développement en série
et
- .
En faisant la substitution
- ,
il vient immédiatement la relation de récurrence :
- .
Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.
Crédit d'auteurs
modifierBibliographie
modifier- (en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions, New York/Berlin, Academic Press/Springer-Verlag, , 2e éd.
- (en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month., vol. 52, , p. 297-301
- (en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J., vol. 14, , p. 1091-1104