Polynôme d'Appell généralisé

En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :

où la fonction génératrice est composée des séries :

  • avec  ;
  • avec tous les  ;
  • avec .

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré .

Cas particuliers

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  • Le choix de   donne la classe des polynômes de Brenke.
  • Le choix de   donne la suite des polynômes de Sheffer.
  • Le choix simultané de   et de   donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite

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Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

 .

Le coefficient   est

 

où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.

Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :

 .

Relations de récurrence

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De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau   puisse être écrit comme   avec   est que

 

  et   ont un développement en série

 

et

 .

En faisant la substitution

 ,

il vient immédiatement la relation de récurrence :

 .

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a   et donc tous les   sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Crédit d'auteurs

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized Appell polynomials » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

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