Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples

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La suite   est à divisibilité faible si pour tous entiers n, k > 0,   est un multiple de  , ou, autrement dit :

 .

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant  , une telle suite vérifie donc pour tous n, m :

 .

Un exemple simple en est la suite   avec a et b entiers, car   est divisible par   d'après la formule de Bernoulli.

La suite   est à divisibilité forte si pour tous entiers n, m > 0,

 .

Dans le cas où l'application   est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible[1] car   si et seulement si  .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type   car  .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

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Théorème — Si la suite   est à divisibilité faible et vérifie   pour  , alors elle est à divisibilité forte.

Exemples

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Toute suite de Lucas du premier type U(P,Q) est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si P et Q sont premiers entre eux[2]. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

  • La suite de Fibonacci  .
  • La suite de Pell  .
  • La suite des nombres de Mersenne  .
  • Plus généralement la suite des répunit en base b  .
  • Encore plus généralement la suite   avec a et b entiers premiers entre eux.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divisibility sequence » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski et Thomas Ward, Recurrence Sequences, AMS, (lire en ligne), p. 70, confondent ces deux notions.
  2. Anne Bauval, « Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à divisibilité forte », RMS, vol. 127, no 3,‎ (arXiv 1606.01594v1).

Voir aussi

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