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Structure fine

détail du spectre d'émission d'un atome
Structure fine de l'hydrogène : influence de la levée partielle de la dégénérescence du niveau d'énergie n = 2 sur la raie Lyman-α.

En physique atomique, la structure fine décrit le dédoublement de raies spectrales d'une particule. Détectable par spectroscopie à haute résolution spectrale, la structure fine est un effet d'origine relativiste dont l'expression correcte se déduit à partir de l'équation relativiste pour les particules de spin 1/2: l'équation de Dirac.

Les raies denses observées dans les spectres sont prédites par l'étude de l'énergie d’interaction entre l’électron et le proton sans tenir compte du spin et des effets relativiste de l’électron. Pour les atomes hydrogénoïdes, l'énergie ne dépend que du nombre quantique principal n et l'hamiltonien non-relativiste s'écrit :

Le modèle prenant en compte les effets relativistes permet donc de corriger cette énergie et de lever partiellement la dégénérescence du niveau d'énergie et de séparer les raies spectrales.

La structure fine est décrite par l'hamiltonien de structure fine Hf contenant trois termes correctifs:

L'hamiltonien total vaut donc :

La découverte de la structure fine de l'hydrogène atomique a valu le prix Nobel de physique à Willis Eugene Lamb en 1955.

Sommaire

Correction relativiste de l’énergie cinétiqueModifier

Dans le cas classique, le terme de l'énergie cinétique de l'hamiltonien non relativiste s'écrit[1]

 

  est la quantité de mouvement et   la masse de l'électron.

En relativité restreinte, l'énergie cinétique d'une particule de masse   s'écrit :

   

Pour des particules faiblement relativistes ( , ce qui équivaut à p << mc), on peut « couper » le développement limité en   de la parenthèse au deuxième ordre (c'est-à-dire au terme en  ) :

 , ce qui équivaut à  .

Au premier ordre suivant le terme classique, le terme de correction Hr vaut donc :

 

En partant de l'hamiltonien de la solution non-relativiste H0 d'états propres   d'énergie En,

 ,

V représente le potentiel, la théorie des perturbations permet d'écrire :

 .

Ainsi :

 

Dans le cas d'un hydrogénoïde, le potentiel est coulombien et les états propres non perturbés sont des harmoniques sphériques. L'expression ci-dessus devient :

 

Couplage spin-orbiteModifier

Origine du terme perturbatifModifier

La mécanique quantique relativiste fait apparaître, entre autres, le fait que les électrons possèdent un spin. Celui-ci engendre un moment magnétique de spin

 

Comme l'électron se déplace dans un environnement où règne le champ électrique créé par les charges du noyau et des autres électrons, d'après la relativité restreinte, l'électron, dans son référentiel, perçoit un champ magnétique appelé champ motionnel

 

L'énergie associée à cette interaction est donc

 

Comme le référentiel de l'électron est en rotation et non galiléen, le calcul du champ motionnel nécessite de faire deux changements de référentiels (un en translation et un en rotation)[2]. Le calcul fait par Thomas donne

 

avec   le moment cinétique de l'électron autour du noyau et   le moment cinétique de spin de l'électron.

Il est commun de noter ce terme

 

ce qui permet de mettre en valeur le terme purement radial.

Calcul en perturbationModifier

Dans l'hypothèse où ce terme apporte une contribution faible à l'énergie devant le terme principal  , on peut le traiter en perturbation. Mais auparavant, il convient de remarquer que le terme   ne commute pas avec   et  . Il est donc indispensable de trouver un nouvel Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC). Pour ce faire, le moment cinétique total

 

est utilisé en lieu et place de chaque moment cinétique et le nouvel ECOC devient  [3]. La base des vecteurs propres communs devient alors   avec  . Il en résulte

 

d'où

 


La théorie des perturbations permet d'écrire :

 

En posant

 

le résultat est :

 

Exemple avec les alcalinsModifier

Ici   donc  .

  • Soit  , alors   d'où  
  • Soit  , alors :
    •   donc  
    •   donc  

Excepté pour les couches S, il y a une levée partielle de la dégénérescence des niveaux d'énergies. Cela se traduit par un dédoublement de ces niveaux (exemple du sodium qui possède un dédoublement de la raie d'émission jaune en deux raies respectivement à 589,0 nm et 589,6 nm).

Le barycentre des niveaux n'est pas déplacé.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

  1. La formule peut s'obtenir empiriquement en développant au premier ordre l'énergie cinétique donnée par la relativité restreinte E = [p2c2 + m2c4]1/2mc2. Une dérivation cohérente dans le cadre de la physique quantique se fait à partir de l'équation de Dirac.
  2. Le calcul fait dans l'approximation d'un référentiel galiléen donne un résultat erroné d'un facteur  
  3. Ici le choix de   comparé aux autres coordonnées est purement arbitraire et n'a aucune influence sur le résultat du calcul.