Zitterbewegung

Le Zitterbewegung (qu'on peut traduire de l'allemand par « mouvement de tremblement ») est un phénomène physique de micro-oscillations d'un soliton, découvert par Erwin Schrödinger[Information douteuse] en 1930 dans le cadre de la mécanique quantique.

Examiné dans le cadre de la théorie de la relativité, il donne naissance au paradoxe de Klein[Information douteuse].

Il est censé expliquer le spin et le moment magnétique de l'électron[réf. nécessaire].

GénéralitésModifier

À une observable quantique   dans la représentation de Schrödinger correspond une observable   dans la représentation de Heisenberg. Lorsque l'opérateur hamiltonien   est indépendant du temps et lorsque  , les observables   et   sont reliés comme :

 

La dérivée dans le temps de   est donnée par l'équation de Heisenberg :

 

Dérivation mathématique du zitterbewegungModifier

Considérons l'équation de Dirac d'une particule libre:

 

Elle peut s'écrire sous forme d'équation de Schrödinger :

 

  est l'opérateur hamiltonien de l'équation de Dirac :

 

Les relations de commutations entre les opérateurs d'impulsion, de position, hamiltonien et les   sont :

 
 
 
 
 
 

On passe maintenant à la représentation de Heisenberg en posant :

 
 
 
 

Leur évolution temporelle est donnée par l'équation d'Heisenberg :

 
 
 
 

Puisque   et   sont constants, on peut écrire plus simplement :

 

En intégrant   on trouve :

 

 . L'opérateur vitesse devient donc :

 

En intégrant   on trouve :

 

DiscussionModifier

L'opérateur vitesse :

 

se décompose en deux composantes : une composante constante :

 

et une composante oscillatoire :

 

Ce mouvement oscillatoire est ce qu'on appelle le Zitterbewegung. La fréquence angulaire de cette oscillation est  . Autrement dit, on trouve l'énergie propre du mode fondamental d'un oscillateur harmonique quantique :

 

En utilisant l'égalité  , on trouve en particulier une longueur d'onde :

 

  est la longueur d'onde de Compton.

L'interprétation de ce résultat a donné lieu à l'explication de plusieurs phénomènes[évasif][1],[2].

Notes et référencesModifier

  1. (en) Kiyoshi Nishikawa, Quantum Systems in Chemistry and Physics : Progress in Methods and Applications, Dordrecht, Springer, , 572 p. (ISBN 978-94-007-5297-9), p. 29-35
  2. (en) David Hestenes, « The zitterbewegung interpretation of quantum mechanics », Foundations of Physics,‎ , p. 1213–1232 (ISSN 0015-9018)

Liens externesModifier