Relation antisymétrique

En mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie :

ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit :

.

La condition (1) peut aussi s'écrire

On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).

L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive).

ExemplesModifier

  • Les relations d'ordre, qui sont les préordres antisymétriques.
  • Sont antisymétriques sans être des relations d'ordre :
    • La relation vide
    • La relation définie par   dans les entiers (lien verbal : "être le successeur de")
    • la relation de lien verbal "être l'enfant de ".
    • La relation sur les entiers naturels " être un diviseur premier de".
  • Une relation est à la fois symétrique et antisymétrique si et seulement si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité).

DénombrementsModifier

Le nombre de relations antisymétriques dans un ensemble à n éléments est égal à  , voir la suite A083667 de l'OEIS.

Le nombre de relations antisymétriques et réflexives est  , voir la suite A047656 de l'OEIS.

PropriétéModifier

L'intersection   de deux relations antisymétriques R et S dans un ensemble E est également antisymétrique.

Démonstration :

On doit montrer  :  , où   et  .

Preuve directe :

Considérons un couple   de E x E tel que :  . Il vient de   que   et de   que   . Par antisymétrie de R, on obtient :  .