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En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0(u, v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0(u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

La droite dans le plan euclidienModifier

Droite, pente et vecteur directeurModifier

Si la droite (D) d'équation ux + vy + h = 0 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées y, donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme

 

avec

 

La pente d'une droite est le réel a.

Si l'on appelle α l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D), α peut se déduire par :

 

Le vecteur   est un vecteur directeur de (D), Le vecteur   est un autre vecteur directeur.

Vecteur normal à une droiteModifier

Soit   un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

 

et   un point spécifique de (D), on a :

 

En retranchant (2) à (1) on obtient :

 

En notant  , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

 

La droite d'équation ux + vy + h = 0 est donc orthogonale au vecteur  . Le vecteur   est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe y, elle peut être donnée par une équation de type :

 

Le vecteur   est un vecteur normal à (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donnéModifier

Soit un point   et un vecteur   non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par   et orthogonale à  , si et seulement si :

 

La droite D, passant par   et orthogonale à  , a donc pour équation :

 

Distance algébrique d'un point à une droiteModifier

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Soit H le point projeté de   sur D, qui est donc tel que   est orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  , on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

 

En valeur absolue :

 

Équation normale d'une droiteModifier

Dans le repère  , notons   un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle . On note d'autre part   la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

 

Angles de deux droitesModifier

Soit D et D' deux droites d'équations

 
 

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

 

Intersection de deux droitesModifier

Soit les droites (D1) et (D2) d'équations cartésiennes respectives :

 

alors :

  • si   : les droites sont confondues ;
  • si   : les droites sont strictement parallèles ;
  • si   : les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Faisceau défini par deux droitesModifier

Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :

 

En posant   ;

 .

On a alors trois cas :

  • si D1 et D2 se coupent en un point unique A, le faisceau   est l'ensemble des droites passant par A.
  • si D1 et D2 sont strictement parallèles, le faisceau   est l'ensemble des droites strictement parallèles à D1.

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèlesModifier

Les droites d'équations :

 ,
 , et
 

sont concourantes ou parallèles si :

 

La droite dans l'espace euclidienModifier

Distance d'un point à une droite quelconque de l'espaceModifier

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plansModifier

Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :

 
 

Le plan (Q) perpendiculaire à (P1) appartient au faisceau de plans  .

(Q) sera perpendiculaire à (P1) pour  

Soient H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P1), (Q) et (D), on en déduit  .

On calculera MH1 et MHQ comme détaillé plus bas.

Cas où la droite est définie par un point et un vecteur directeur non nulModifier

La distance MH est donnée par

 

Droites orthogonales à un planModifier

Le plan étant défini par l'équation ux + vy + wz + h = 0, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur  . Une droite D passant par le point   et perpendiculaire à   a pour équations :

 

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

 

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

 

Distance entre deux droites quelconques de l'espaceModifier

Soient la droite (D0) passant par   et de direction le vecteur   et (D1) la droite passant par   et de direction  

Si les vecteurs   et   sont indépendants, le volume du solide construit sur   est égal à |k|. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

 

L'aire de la base du solide est donnée par

  tel que  

La distance entre les deux droites est alors égale à  

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite D0.

Le plan dans l'espace euclidienModifier

Vecteur orthogonal à un planModifier

Soit   un point du plan (P) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

 

Pour   un point spécifique de P on obtient :

 

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

 

En notant  , le vecteur de coordonnées (u, v, w), on exprime (1bis) comme suit :

 

Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0 est donc orthogonal au vecteur   et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :

 

avec a = -u/w, b = -v/w et c = -h/w. Le vecteur de composantes (-a, -b, 1) est un vecteur normal au plan.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donnéModifier

Soit un point   et un vecteur   non nul. Le point M appartient au plan P, passant par   et orthogonal à  , si et seulement si :

 

Le plan P, passant par   et orthogonal à  , a donc pour équation : :

 

Distance algébrique d'un point à un planModifier

Article détaillé : Distance d'un point à un plan.

Soit H le projeté de   sur (P) avec   orthogonal à (P).

La droite perpendiculaire à (P) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  , on montre que la distance algébrique entre M et (P) est donnée par :

 

En valeur absolue :

 

Angles de deux plansModifier

Soient (P) et (P') deux plans d'équations

 
 

L'angle géométrique (P, P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux  

 
 
Articles détaillés : Produit scalaire et Produit vectoriel.

Du point de vue de l'application numérique, la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de π/2 + kπ, et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de 0 + kπ.

Cas particulier : angle de plus grande penteModifier

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.

Étant donné l'équation d'un plan horizontal :

 

L'angle de plus grande pente est donné par :

 

Plans perpendiculairesModifier

Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux   et   sont orthogonaux, ce qui implique

 

Intersection de deux plansModifier

Soit les plans (P1) et (P2) d'équations cartésiennes respectives :

 
 

Alors :

  • si   : les plans sont confondus ;
  • si   : les plans sont strictement parallèles ;

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Faisceau de plansModifier

Le faisceau de plans défini par les plans P1 et P2 est l'ensemble des plans solution de l'équation :

 

En posant   ;

  (avec la condition P2 = 0 alors λ correspond à l'infini).
  • si (P1) et (P2) se coupent en une droite (D, le faisceau   est l'ensemble des plans passant par (D).
  • si (P1) et (P2) sont strictement parallèles, le faisceau   est l'ensemble des plans strictement parallèles à (P1).

Condition pour que trois plans aient une droite commune ou soient parallèlesModifier

Soit les plans d'équation :

 
 
 

S'il existe α, β, γ non tous nuls tels que :

  pour tous x, y et z

Cette relation exprime que (P1) et (P2) sont les plans de base du faisceau contenant (P3).

Équation de plan et déterminantModifier

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéairesModifier

Soient un point   et deux vecteurs   et   non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan (P) passant par   et de directions   et   si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que  . Cette égalité exprime que   sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

 

Son équation est :

 

que l'on peut écrire sous la forme  

Plan défini par deux points et un vecteurModifier

Soient deux points   et un vecteur   non colinéaire à  .

Le point M appartient au plan passant par   et de direction   si et seulement si les trois vecteurs :  sont coplanaires, donc :

 

Son équation est :

 

Plan défini par trois points non alignésModifier

Soient  , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

 


Articles connexesModifier