Distance entre deux droites gauches

Dans l'espace $\mathbb {R} ^{3}$muni de la distance euclidienne, la distance entre deux droites gauches est la plus courte distance séparant deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Deux droites gauches. Le plan dessiné en gris contient l'une des droites et est parallèle à l'autre.

Formule de la distance

Soient :

• une droite affine $D_{1}$ passant par $\mathrm {A} _{1}$ et de vecteur directeur ${\vec {d}}_{1}$ ;
• une droite affine $D_{2}$ passant par $\mathrm {A} _{2}$ et de vecteur directeur ${\vec {d}}_{2}$, avec $D_{1}$ et $D_{2}$ non parallèles;
• ${\vec {n}}={\vec {d}}_{1}\wedge {\vec {d}}_{2}$, vecteur orthogonal à $D_{1}$ et $D_{2}$ (le symbole $\wedge$ est celui du produit vectoriel).

La distance $\delta$ entre $D_{1}$ et $D_{2}$ est égale à:

$\delta ={\dfrac {\left\vert {\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}}}\right\vert }{\lVert {\vec {n}}\rVert }}$,

ce qui correspond à la norme de la projection orthogonale de ${\overrightarrow {\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}}}$ sur ${\vec {n}}$.

Remarques :

• si les droites sont sécantes, elles sont coplanaires et le produit scalaire précédent est nul ;
• la formule n’est pas valable pour des droites parallèles, car le dénominateur serait alors nul, dans ce cas on utilisera la formule de la distance d'un point à une droite :

  $\delta ={\dfrac {\left\vert {\vec {d_{1}}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}}}\right\vert }{\lVert {\vec {d_{1}}}\rVert }}\quad$ ou $\quad \delta ={\dfrac {\left\vert {\vec {d_{2}}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}}}\right\vert }{\lVert {\vec {d_{2}}}\rVert }}$.

Recherche des points les plus proches

La perpendiculaire commune et les deux points les plus proches.

Comme $D_{1}$ et $D_{2}$ sont gauches, elles admettent une unique perpendiculaire commune $P$, qui coupe $D_{1}$ en $\mathrm {B} _{1}$ et $D_{2}$ en $\mathrm {B} _{2}$. La longueur $\mathrm {B_{1}B_{2}}$ est également la distance $\delta (D_{1},D_{2})$. Pour trouver ces points il faut combiner les propriétés suivantes :

• $\mathrm {B} _{1}$ appartient à $D_{1}$ ;
• $\mathrm {B} _{2}$ appartient à $D_{2}$ ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}$ est perpendiculaire à $D_{1}$ ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}$ est perpendiculaire à $D_{2}$.

Ou, mathématiquement :

• ${\overrightarrow {\mathrm {A_{1}B_{1}} }}=\lambda \,{\vec {d}}_{1}$ ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {A_{2}B_{2}} }}=\mu \,{\vec {d}}_{2}$ ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}\cdot {\vec {d}}_{1}=0$ ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}\cdot {\vec {d}}_{2}=0$.

Comme ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}={\overrightarrow {\mathrm {B_{1}A_{1}} }}+{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}+{\overrightarrow {\mathrm {A_{2}B_{2}} }}=\mu \,{\vec {d}}_{2}-\lambda \,{\vec {d}}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}$, le report de cette égalité dans les deux dernières relations conduit à deux équations linéaires à deux inconnues $\lambda$ et $\mu$.

On peut se passer de la résolution d'un système en utilisant des vecteurs ${\vec {n}}_{1}$ (resp. ${\vec {n}}_{2}$) orthogonaux à ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}$ qui soit également, pour l'un orthogonal à ${\vec {d}}_{2}$ et pour l'autre orthogonal à ${\vec {d}}_{1}$.

On peut prendre, par exemple, ${\vec {n}}_{1}={\vec {n}}\wedge {\vec {d}}_{2}$ et ${\vec {n}}_{2}={\vec {n}}\wedge {\vec {d}}_{1}$

ou bien, sans mobiliser de produit vectoriel, ${\vec {n}}_{1}={\vec {d}}_{1}-{\frac {{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}}{{\vec {d}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{2}}}{\vec {d}}_{2}$ et ${\vec {n}}_{2}={\vec {d}}_{2}-{\frac {{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}}{{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{1}}}{\vec {d}}_{1}$ (ces derniers vecteurs sont colinéaires aux précédents).

Les conditions ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{1}=0$ et ${\overrightarrow {\mathrm {B_{1}B_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{2}=0$ se traduisent alors par :

$-\lambda \,{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{1}=0$ et $\mu \,{\vec {d}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}+{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{2}=0$

et fournissent les valeurs de $\lambda$ et $\mu$ :

$\lambda ={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{1}}{{\vec {d}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}}}$ et $\mu =-{\frac {{\overrightarrow {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}\cdot {\vec {n}}_{2}}{{\vec {d}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}}}$

En géométrie hyperbolique

En géométrie hyperbolique, un résultat formellement identique est le théorème des ultraparallèles : deux droites du plan hyperbolique ultraparallèles (qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles asymptotes) admettent une unique perpendiculaire commune, et la distance entre les pieds de cette perpendiculaire est la distance minimale entre les deux droites.

Notes et références