Distance d'un point à une droite

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ). On peut ainsi écrire :

La distance entre le point A et la droite (d ) est la distance AAh

Dans le planModifier

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule

 

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note   le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs   et   est donnée par les deux expressions :

  ( ax + by = - c car M est un point de (d))
 .

En particulier :

  • si la droite a pour équation y = mx + p alors   ;
  • si la droite a pour équation x = a alors  
  • si la droite est donnée par son équation normale:   alors   (où, bien entendu   et  ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.

Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme   (avec  ) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà[1], en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).

Dans l'espaceModifier

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur  , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

 

  représente le produit vectoriel des vecteurs   et   et où   représente la norme du vecteur  .

En effet, si l'on note C le point de (d ) tel que   alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

 
 .

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d ). Si la droite (d ) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d₁ et d₂ les distances du point A à ces deux plans, on a :

 .

En dimension nModifier

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur  . Tout point   peut être écrit ainsi

 

La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t

 

  représente le produit scalaire des vecteurs   et  . On a donc

 

Démonstration :

Cela revient à trouver   qui minimise  . Minimiser   revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).

 

On cherche  , pour trouver ce minimum.

 
 
 

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. Rem: le point est dit «au-delà» de la droite s'il n'est pas dans le même demi-plan que l'origine par rapport à cette droite.