Potentiel de Riesz

Le potentiel de Riesz est en physique mathématique un potentiel découvert par le mathématicien hongrois Marcel Riesz. Le potentiel de Riesz peut être vu comme l'inverse de l'opérateur laplacien à une certaine puissance sur un espace euclidien. Les potentiels de Riesz généralisent l'intégrale de Riemann–Liouville au cas à plusieurs variables.

Définition

Soit 0 < α < n, alors le potentiel de Riesz I_α f d'une fonction f localement intégrable sur Rⁿ est la fonction définie par

$$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$$

où la constante c_α est donnée par

$$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}$$

Cette intégrale singulière est définie à condition que f décroisse suffisamment rapidement à l'infini. C'est le cas en particulier si f ∈ L^p ( Rⁿ ) avec 1 ≤ p < n/α.

En fait, pour tout p ≥ 1, la décroissance de f et celle de I_αf sont liées, de par l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.

$\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}$

où $Rf=DI_{1}f$ est la transformée de Riesz à valeur vectorielle.

Plus généralement, l' opérateur I_α est bien défini pour tout nombre complexe α tel que 0 < Re(α) < n.

On peut généraliser le potentiel de Riesz pour les distributions en le définissant comme la convolution

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

où K _α est la fonction localement intégrable :

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}$

Le potentiel de Riesz peut donc être défini pour toute distribution f à support compact. À cet égard, le potentiel de Riesz d'une mesure de Borel positive μ à support compact présente un intérêt en théorie du potentiel car I_α μ est alors une fonction sous-harmonique continue en dehors du support de μ, et est semi-continue inférieurement sur tout Rⁿ.

L'étude de la transformée de Fourier révèle que le potentiel de Riesz est un multiplicateur de Fourier. En effet, on a

${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$

et donc, d'après le théorème de convolution,

${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi )$

Les potentiels de Riesz ont une propriété de demi-groupe par exemple sur les fonctions continues rapidement décroissantes, on a :

$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

si on suppose que

$0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.$

De plus, si 0 < Re α < n–2, alors

$\Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }$

On a aussi, pour cette classe de fonctions,

$\lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

Articles connexes

• Espace de Sobolev