Fonction sous-harmonique

En mathématiques, une fonction sous-harmonique est une fonction définie sur un domaine du plan complexe et à valeurs réelles vérifiant certaines conditions d'harmonicité plus faibles que celles vérifiées par les fonctions harmoniques. C'est une notion introduite en analyse harmonique pour résoudre le problème fondamental dit problème de Dirichlet ; la résolution de ce problème utilisant les fonctions sous-harmoniques est appelée méthode de Perron (en).

DéfinitionModifier

Soit   un ouvert de   . Une fonction   est dite sous-harmonique dans   si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

  •   est continue.
  •   possède la propriété de sous-moyenne locale : pour tout point  , on peut trouver   tel que :
     
    pour tout  .

Parfois, on trouve une autre définition imposant que la fonction   soit semi-continue supérieurement.

Quelques propriétésModifier

Outre l'analogie avec l'égalité de la moyenne, les fonctions sous-harmoniques vérifient un certain nombre de propriétés à comparer avec celles des fonctions harmoniques :

  • le principe du maximum : sur tout partie   relativement compacte dans  , le maximum de   sur l'adhérence de   est atteint sur le bord ; et si   admet un maximum global sur  , alors elle est constante. En revanche, il n'y a pas de principe du minimum.
  • les fonctions sous-harmoniques sur   sont caractérisées parmi les fonctions continues comme celles vérifiant le principe du maximum sur tout disque relativement compact dans  .
  • Une propriété intéressante dans le cadre des espaces de Hardy est la suivante : Si   est une fonction convexe croissante et si   est une fonction sous-harmonique, alors   est sous-harmonique.

Le théorème central permettant d'utiliser ces fonctions en analyse harmonique est celui disant que si une famille   de fonctions sous-harmoniques dans un domaine   est stable

  • par maximum (si  , alors  ) et
  • par modifiée de Poisson (si   et si   est un disque relativement compact dans  , de centre  , la modifiée de Poisson de   dans   à savoir la fonction   qui vérifie   sur   et sur   :  , est encore dans  ),

alors la borne supérieure des éléments de   est soit constamment égale à  , soit une fonction harmonique sur  .

Pour démontrer le principe de Dirichlet, on se place ensuite sur un domaine   dont le bord est régulier, muni d'une fonction continue   sur son bord, et on prend   la famille des fonctions sous-harmoniques sur   majorées par   sur le bord de   : la borne supérieure de cette famille est alors une solution.