Nombre d'Euler
Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels[1] définis par le développement en série de Taylor suivant :
On les appelle aussi parfois les nombres sécants, voir la suite A000364 de l'OEIS.
Premiers nombres d'Euler
modifierLes premières valeurs sont :
- 1
- 1
- 5
- 61
- 1 385
- 50 521
- 2 702 765
- 199 360 981
- 19 391 512 145
- 2 404 879 675 441
Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante :
et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :
- .
Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire : . Une configuration zig-zag de taille est une liste de nombres réels z1,..., zn tels que
Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres sont les mêmes.
Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.
Formules explicites
modifierSommations
modifierUne formule explicite pour les nombres d'Euler est [réf. souhaitée] :
où i est le nombre complexe tel que i2 = −1.
Sommes sur les partitions
modifierLe nombre s'exprime comme somme sur les partitions paires de [2]:
et aussi comme somme sur les partitions impaires de [3] :
où, dans les deux cas, et
est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux tels que et , respectivement.
Par exemple,
Avec un déterminant
modifierest aussi donné par le déterminant[réf. souhaitée] :
Voir aussi
modifier- Transformation du boustrophédon, permettant de calculer les nombres d’Euler.
- Permutation alternée
Notes et références
modifier- Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, PUF, , 955 p. (ISBN 2-13-045491-7), p. 318. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.
- (en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, no 1, , A1 (lire en ligne).
- (en) (en) Jerome Malenfant, « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », version v6, .