Polyèdre quasi régulier

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Un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers, qui est transitif sur ses sommets, et qui est transitif sur ses arêtes, est dit quasi régulier.

Un polyèdre quasi régulier peut avoir des faces de deux sortes seulement, et celles-ci doivent alterner autour de chaque sommet.

Pour certains polyèdres quasi réguliers : on utilise un symbole de Schläfli vertical pour représenter le polyèdre quasi régulier combinant les faces du polyèdre régulier {p,q} et celles du dual régulier {q,p} : leur noyau commun. Un polyèdre quasi régulier avec ce symbole a une configuration de sommet p.q.p.q.

Les polyèdres quasi réguliers convexesModifier

Il existe trois polyèdres quasi réguliers convexes :

  1. L'octaèdre  ; configuration de sommet : 3.3.3.3 ; c'est aussi un polyèdre régulier.
  2. Le cuboctaèdre  ; configuration de sommet : 3.4.3.4.
  3. L'icosidodécaèdre  ; configuration de sommet : 3.5.3.5.

Chacun d'entre eux forme le noyau commun d'une paire duale de polyèdres réguliers. Les noms des deux derniers listés donnent des indices pour la paire duale associée : respectivement cube   octaèdre, et icosaèdre   dodécaèdre. L'octaèdre est le noyau commun d'une paire duale de tétraèdres (un arrangement connu sous le nom d'octangle étoilé). Lorsqu'il est dérivé de cette manière, l'octaèdre est quelquefois appelé le tétratétraèdre, comme tétraèdre   tétraèdre.

Les duaux quasi réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.

Régulier Dual régulier Noyau commun quasi régulier Dual quasi régulier
 
Tétraèdre
{3,3}
 
Tétraèdre
{3,3}
 
Tétratétraèdre
3.3.3.3
 
Cube
3.3.3.3
 
Cube
{4,3}
 
Octaèdre
{3,4}
 
Cuboctaèdre
3.4.3.4
 
Dodécaèdre rhombique
4.3.4.3
 
Dodécaèdre
{5,3}
 
Icosaèdre
{3,5}
 
Icosidodécaèdre
3.5.3.5
 
Triacontaèdre rhombique
5.3.5.3

Chacun de ces polyèdres quasi réguliers peut être construit par une opération de rectification sur l'un ou l'autre de ses parents réguliers, en tronquant pleinement les sommets, jusqu'à ce que chaque arête originale soit réduite à son milieu.

Les polyèdres quasi réguliers non-convexesModifier

Coxeter, H.S.M. et al. (1954) ont classé aussi certains polyèdres étoilés, ayant les mêmes caractéristiques, comme quasi réguliers.

Régulier Dual régulier Noyau commun quasi régulier
 
Grand icosaèdre
 
Grand dodécaèdre étoilé
 
Grand icosidodécaèdre
 
Grand dodécaèdre
 
Petit dodécaèdre étoilé
 
Dodécadodécaèdre
Dodécadodécaèdre ditrigonal Petit icosidodécaèdre ditrigonal Grand icosidodécaèdre ditrigonal
     

Duaux quasi réguliersModifier

Certaines autorités font remarquer que, puisque les duaux des solides quasi réguliers partagent les mêmes symétries, ces duaux doivent être aussi quasi réguliers. Mais tout le monde n'accepte pas ce point de vue. Ces duaux sont transitifs sur leurs faces, et sont transitifs sur leurs arêtes. Ils sont, en ordre correspondant à ci-dessus :

Les duaux quasi réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  • Coxeter, H.S.M. Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401-450.
  • Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).