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Dual d'un polyèdre

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Dualité (mathématiques) et Dualité.

En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que

  • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
  • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers en reliant les centres de faces adjacentes, mais on peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée ci-dessous.

Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.

On peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits.

Le tétraèdre est son propre dual

Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre régulier donne l'icosaèdre, le tétraèdre est son propre dual.
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.
Les duaux des solides archimédiens sont les solides de Catalan.
Les duaux des prismes sont des diamants (ou bipyramides), ceux des antiprismes des antidiamants.


solide dual
tétraèdre Tetrahedron.svg tétraèdre Tetrahedron.svg
cube Hexahedron.svg octaèdre Octahedron.svg
octaèdre Octahedron.svg cube Hexahedron.svg
icosaèdre Icosahedron.svg dodécaèdre régulier Dodecahedron.svg
dodécaèdre régulier Dodecahedron.svg icosaèdre Icosahedron.svg
petit dodécaèdre étoilé SmallStellatedDodecahedron.jpg grand dodécaèdre GreatDodecahedron.jpg
grand dodécaèdre étoilé GreatStellatedDodecahedron.jpg grand icosaèdre GreatIcosahedron.jpg
tétraèdre tronqué Truncatedtetrahedron.jpg triakitétraèdre Triakistetrahedron.jpg
cube tronqué Truncatedhexahedron.jpg triakioctaèdre Triakisoctahedron.jpg
octaèdre tronqué Truncatedoctahedron.jpg tétrakihexaèdre Tetrakishexahedron.jpg
cuboctaèdre Cuboctahedron.svg dodécaèdre rhombique Rhombicdodecahedron.jpg
petit rhombicuboctaèdre Rhombicuboctahedron.jpg icositétraèdre trapézoïdal Deltoidalicositetrahedron.jpg
grand rhombicuboctaèdre Truncatedicosidodecahedron.jpg hexakioctaèdre Disdyakistriacontahedron.jpg
cube adouci Snubhexahedroncw.jpg icositétraèdre pentagonal Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
dodécaèdre tronqué Truncateddodecahedron.jpg triaki-icosaèdre Triakisicosahedron.jpg
icosaèdre tronqué Truncatedicosahedron.jpg pentakidodécaèdre Pentakisdodecahedron.jpg
icosidodécaèdre Icosidodecahedron.jpg triacontaèdre rhombique Rhombictriacontahedron.jpg
petit rhombicosidodécaèdre Rhombicosidodecahedron.jpg hexacontaèdre trapézoïdal Deltoidalhexecontahedron.jpg
grand rhombicosidodécaèdre Truncatedicosidodecahedron.jpg hexaki icosaèdre Disdyakistriacontahedron.jpg
dodécaèdre adouci Snubdodecahedronccw.jpg hexacontaèdre pentagonal Pentagonalhexecontahedroncw.jpg


géode par triangulation Geode10.png géode en nid d'abeille Geodeduale.png

Dualité des solides de PlatonModifier

   
Le dual du cube est l'octaèdre Le dual de l'octaèdre est le cube
   
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre

Construction de Dorman LukeModifier

Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.

À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommets (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.

 

Détails de la construction de Dorman Luke :

- dessiner la figure de sommets obtenue en marquant les milieux ABCD de chaque arête issue du sommet considéré
- tracer le cercle circonscrit au polygone ABCD.
- tracer les tangentes au cercle circonscrit en chaque sommet A, B, C, D.
- marquer les points E, F, G, H, où chaque tangente rencontre la tangente adjacente.
- le polygone EFGH est une face du polyèdre dual.

Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommets se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.

La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier