Dual d'un polyèdre

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En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que :

  • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
  • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers convexes en reliant les centres des faces adjacentes (voir § Dualité des solides de Platon).

On peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée plus loin.

Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.

Quelques propriétésModifier

  • Le dual d'un polyèdre convexe est aussi un polyèdre convexe.[1]
Le dual d'un polyèdre non-convexe est aussi un polyèdre non-convexe.[1] (contraposée)
  • Un polyèdre et son dual ont les mêmes symétries éventuelles (par rapport à un plan, une droite, un point)[1].

Duaux de polyèdres "classiques"Modifier

Dualité des solides de PlatonModifier

 
Le tétraèdre est son propre dual.[1]
   
Le dual du cube est l'octaèdre.[1] Le dual de l'octaèdre est le cube.[1]
   
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre.[1] Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre.[1]


solide régulier convexe dual régulier convexe
tétraèdre   tétraèdre  
cube   octaèdre  
octaèdre   cube  
icosaèdre   dodécaèdre régulier  
dodécaèdre régulier   icosaèdre  


Dualité des solides de Kepler-PoinsotModifier

Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé est le dual du grand icosaèdre.
(Voir l'article Solide de Kepler-Poinsot.)

solide régulier non-convexe dual régulier non-convexe
petit dodécaèdre étoilé   grand dodécaèdre  
grand dodécaèdre étoilé   grand icosaèdre  


Duaux des solides archimédiens, des prismes, et des antiprismesModifier

Les duaux des solides d'Archimède sont les solides de Catalan.[1]

solide uniforme convexe dual isoédral convexe
tétraèdre tronqué   triakitétraèdre  
cube tronqué   triakioctaèdre  
octaèdre tronqué   tétrakihexaèdre  
cuboctaèdre   dodécaèdre rhombique  
petit rhombicuboctaèdre   icositétraèdre trapézoïdal  
grand rhombicuboctaèdre   hexakioctaèdre  
cube adouci   icositétraèdre pentagonal  
dodécaèdre tronqué   triaki-icosaèdre  
icosaèdre tronqué   pentakidodécaèdre  
icosidodécaèdre   triacontaèdre rhombique  
petit rhombicosidodécaèdre   hexacontaèdre trapézoïdal  
grand rhombicosidodécaèdre   hexaki icosaèdre  
dodécaèdre adouci   hexacontaèdre pentagonal  


Les duaux des prismes sont les diamants (ou bipyramides).[1]
Les duaux des antiprismes sont les antidiamants (ou trapézoèdres).[1]

Duaux de polyèdres géodésiquesModifier

solide convexe non uniforme,
mais tous ses sommets sont du même ordre (3)
dual convexe non isoédral,
mais toutes ses faces sont du même ordre (3)
géode en nid d'abeille   géode par triangulation  


Construction de Dorman LukeModifier

Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.

À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommet (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.

 

Détails de la construction de Dorman Luke :

- dessiner la figure de sommet obtenue en marquant les milieux A, B, C, D de chaque arête issue du sommet considéré ;
- tracer le cercle circonscrit au polygone ABCD ;
- tracer les tangentes au cercle circonscrit en chaque sommet A, B, C, D ;
- marquer les points E, F, G, H où chaque tangente rencontre une tangente adjacente ;
- le polygone EFGHest une face du polyèdre dual.

Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommet se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.

La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

  1. a b c d e f g h i j et k « dualité », sur maths.ac-noumea.nc (consulté le 19 septembre 2020)