Face (géométrie)

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En géométrie, les faces d'un polyèdre sont les polygones qui le bordent. Par exemple, un cube possède six faces qui sont des carrés. Le suffixe èdre (dans polyèdre) est dérivé du grec hedra, qui signifie face.

Un cube : les surfaces en rouge sont les faces du cube. Chaque sommet est entouré par trois faces.

Par extension, les faces d'un polytope de dimension n sont tous les polytopes de dimension strictement inférieure à n qui le bordent (et pas seulement ceux de dimension n-1).

Définition formelle

En géométrie convexe (en), une face d'un polytope convexe P est définie comme étant le polytope intersection de P avec l'un de ses hyperplans d'appui.

Une face de dimension k est appelée k-face.

Par cette définition, un 4-polytope (par exemple, un tesseract) possède les faces suivantes :

• 4-face : le 4-polytope lui-même, de dimension 4 ;
• 3-face : toute cellule, de dimension 3 ;
• 2-face : toute face polygonale (correspondant à la définition courante du terme) ;
• 1-face : toute arête
• 0-face : tout sommet
• l'ensemble vide.

• 

  Diagramme de Schlegel d'un tesseract, hypercube en 4 dimensions : chaque arête est entourée par 3 cellules cubiques. Le polychore possède au total 8 cellules cubiques, 24 faces carrées, 32 arêtes et 16 sommets.

• 

  Pavage carré : chaque sommet du pavage est entouré par quatre faces.

Facette

Si un polytope est de dimension n, ses (n-1)-faces sont parfois appelées « facettes ». Il s'agit, par exemple, d'une cellule d'un 4-polytope, d'un « face » d'un polyèdre ou d'une arête d'un polygone.

Une (n-2)-face est parfois appelée « arête ».

Annexes

Articles connexes

• Arête
• Sommet
• Théorème de Descartes-Euler
• Maillage

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Face », sur MathWorld
• (en) Face (Glossary for Hyperspace)