Cône de révolution

Le cône circulaire droit ou cône de révolution est une surface engendrée par la révolution d'une droite sécante à un axe fixe autour de ce dernier. Il s'agit d'un cas particulier de cône.

Conederevolution.jpg

Le solide délimité par un demi-cône et deux plans perpendiculaires à son axe de révolution est appelé un tronc de cône.

Les coniques forment une famille très utilisée de courbes planes algébriques résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.

Équations et paramétrisationModifier

Dans un repère orthonormé de l'espace, le cône engendré par la rotation d'une droite passant par O autour de l'axe (Oz) est l'ensemble des points de coordonnées cylindriques  :

 

  est l'angle entre la droite et l'axe (demi-angle au sommet du cône).

On en déduit l'équation en coordonnées cartésiennes   :

 

Ainsi que la paramétrisation :  .

Aires et volumes associésModifier

Aire latérale et volume d'un tronc de côneModifier

Aire latérale et volume du cône solide (tronc de cône délimité par un demi cône et un plan à une distance h du sommet coupant le cône suivant un cercle de rayon r)

  

Dans le cas général, si les deux plans, distants de h coupent le cône suivant deux cercles de rayon r1 et r2, l'aire latérale et le volume valent [1] :

 

Relations entre le tronc de cône et son patronModifier

Le tronc de cône de hauteur h et de rayon de base r a pour patron plan un disque de rayon R dans lequel on a découpé un secteur d'angle  .
La relation entre R,r et   est alors :  . En éliminant r entre cette relation et  , on obtient :  .
La relation entre   et   est :  .

Tronc de cône de volume maximal pour un rayon de patron donnéModifier

Partant de la formule  , on obtient que le volume maximal à R fixé est obtenu pour   [2].

Le volume maximal vaut donc  , le demi-angle au sommet   (voir la suite A195695 de l'OEIS) et l'angle au centre du secteur de disque  .

Notes et référencesModifier

  1. GIECK, Formulaire technique, 10e édition, 1997, C2
  2. (en) John D. Barrow, « Outer space: Archimedean ice cream cones », sur plus.math.org (consulté le 7 aout 2017)

Articles connexesModifier