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Surface (géométrie analytique)

ensemble de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles
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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Surface.
Ne pas confondre avec les notions de superficie ou d'aire comme mesure d'un espace concret avec une unité de mesure; voir Surface, aire et superficie.

En géométrie analytique, on représente les surfaces, c'est-à-dire les ensembles de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, par des relations entre les coordonnées de leurs points, qu'on appelle équations de la surface ou par des représentations paramétriques.

Cet article étudie les propriétés des surfaces que cette approche (appelée souvent extrinsèque) permet de décrire. Pour des résultats plus approfondis, voir Géométrie différentielle des surfaces.

Sommaire

Propriétés affinesModifier

On suppose dans tout cet article qu'on a muni l'espace d'un repère, dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées.

Représentation paramétriqueModifier

Une nappe paramétrée est la donnée de trois fonctions de deux variables (définies sur un disque ouvert, un rectangle ou plus généralement un ouvert de  )

 .

qui représentent les coordonnées d'un point M par rapport à un repère  

On a envie de dire qu'une surface est l'image d'une nappe paramétrée. Mais quelques précautions sont nécessaires : si on prend f(u,v)=u, g(u,v)=h(u,v)=0 on a une nappe paramétrée dont l'image est une droite.

Dans le cas où   est injective, tout point M de S admet un couple unique (u,v) pour antécédent.

Un cas particulier important de nappe paramétrée est celui du graphe d'une fonction de deux variables : lorsque  . On obtient alors une surface représentée par l’équation cartésienne  .

Équation d'une surfaceModifier

Étant donnée une fonction H de trois variables, l'ensemble des points M dont les coordonnées, dans le repère que l'on s'est donné vérifientH(x,y,z)=0 est une surface. Lorsqu'au voisinage d'un point   de S, l'équation   peut être résolue en z, on est ramené, dans ce voisinage, à l'équation cartésienne  . C'est le cas quand  .

Plus de précisionsModifier

Si on se contente des points de vue qui précèdent, on obtient des exemples qu'il vaudrait mieux exclure (cf. la nappe  ). De plus passer du paramétrage à une équation ou inversement n'a rien d'évident.

Une nappe paramétrée   est régulière si

  1.   est de classe  
  2. les vecteurs   et   sont partout linéairement indépendants.

Exemples

  • La nappe paramétrée associée à une surface d'équation cartésienne z=h(x,y) est régulière (si h est  )
  • Si F est  , et si ses dérivées partielles ne s'annulent pas simultanément sur  , alors   est localement un graphe, d'après le théorème des fonctions implicites.

En fait, un cas particulier du théorème des fonctions implicites est le résultat suivant.

Théorème — Pour une partie   les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  • Pour tout   il existe un ouvert U de   tel que   soit l'image d'une nappe paramétrée régulière.
  • Pour tout   il existe un ouvert V de   tel que   soit (après permutation des coordonnées au besoin) le graphe d'une fonction  .

En pratique, les surfaces que l'on étudie sont le plus souvent des réunions d'image de nappes régulières. Quand ce n'est pas le cas, on regarde au cas par cas.

ExemplesModifier

  • La sphère de centre O et de rayon 1 a pour équation  . On peut aussi considérer la nappe paramétrée
 

qui est régulière et injective sur   mais non surjective. Les nombres u et v correspondent à la longitude et à la latitude des géographes. Mais la régularité se perd pour  . En tout état de cause, il est impossible de réaliser la sphère tout entière avec une nappe régulière injective : une telle nappe donnerait un homéomorphisme de la sphère avec un ouvert du plan.

  • l'équation   représente le cône de révolution d'axe Oz et d'angle  .

C'est l'image de la nappe paramétrée

 

qui est régulière si  .

  • une surface de révolution d'axe Oz peut être réalisée par une équation de la forme   (avec  ) ou une nappe paramétrée  .

Courbes coordonnéesModifier

 
Représentation des courbes coordonnées d'une surface S.

Soit S la surface définie par   avec   (constante), cette surface d'équation   est appelée courbe coordonnée  .

Quand   parcourt toutes les valeurs acceptables  , la réunion des courbes   est la surface S.

Le même procédé vaut pour la définition des courbes   d'équation  .

Courbe tracée sur une surfaceModifier

Elle est définie par une application   et est constituée de l'ensemble des points M d'équation :

 , contenue dans S et dite tracée sur S.

Tangentes et plan tangent à une surfaceModifier

On appelle tangente à une surface S au point   toute tangente à une courbe tracée sur S contenant  .

Soit   une fonction   et, au voisinage de  , les dérivées partielles vectorielles   et   continues en  .

Si les vecteurs   et   sont indépendants (non colinéaires), tous les vecteurs tangents en   aux courbes tracées sur   et passant par ce point sont dans le plan passant par   et contenant ces deux vecteurs. C'est par définition le plan tangent à   au point  .

Soit un plan tangent défini par le point  , et deux vecteurs non colinéaires :

 , et
 

Son équation est :

 

Par exemple si l'équation de   est de la forme  , en posant   et   on a :

 

Si l'équation de   est de forme implicite   et si l'une des dérivées partielles de f en   est non nulle, on peut se ramener au cas ci-dessus grâce au théorème des fonctions implicites. Par exemple si  , on peut écrire  , et l'on a

 .

L'équation du plan tangent s'écrit alors

 ,

ou, sous forme vectorielle,

 .

Propriétés métriquesModifier

Normale à une surfaceModifier

Le plan tangent à la surface   au point   est engendré par les vecteurs   et  .

On appelle normale à la surface   au point   la normale au plan tangent : elle admet donc pour vecteur directeur  .

Ses équations sont :

 ,

avec, par exemple, le jacobien   égal à  .

Dans le cas où la surface   est définie par une équation cartésienne  , l'équation de la normale en   au point   est donnée par

 

Dans le cas où la surface   est définie par une équation implicite  , la normale en   au point   a pour vecteur directeur le gradient de   en  , et l'équation s'écrit

 ,

ou, sous forme vectorielle :

 .

Intersection de deux surfacesModifier

Soit la courbe  , intersection des surfaces   et   dont les équations sont :

 , et  .

Ces deux surfaces admettent chacune un plan tangent en  , respectivement notés   et  .

La droite résultant de l'intersection des plans   et   est la tangente en   à  .

Elle admet pour vecteur directeur :

 

Soit l'équation :

 


L'équation du plan normal à   en   est le plan défini par  ,

Son équation est :

 

Voir aussiModifier