Partition de l'unité

En première approche, on peut dire qu'une partition de l'unité est une famille de fonctions positives telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d'elles vaille 1 :

Exemple de partition de l'unité avec quatre fonctions (rouge, bleu, vert et jaune).

Plus précisément, si est l'espace topologique sur lequel sont définies les fonctions de la partition, on imposera que la somme des fonctions ait un sens, c'est-à-dire que pour tout , la famille soit sommable. De façon usuelle, on impose une condition encore plus forte, à savoir qu'en tout point de , seul un nombre fini des soient non nulles. On parle alors de partition localement finie.

On impose en général aussi des conditions de régularité sur les fonctions de la partition, de façon habituelle soit simplement que les fonctions soient continues et alors on parle de partition continue de l'unité, soit indéfiniment dérivables et alors on parle de partition C de l'unité.

Ces conditions, en général précisées par le contexte, sont habituellement sous-entendues. Et on utilisera l'expression partition de l'unité pour désigner une partition continue de l'unité localement finie ou bien une partition C de l'unité localement finie.

Les partitions de l'unité sont utiles car elles permettent souvent d'étendre des propriétés locales à l'espace tout entier. Bien sûr, ce sont les théorèmes d'existence qui font de cette notion un outil pratique.

Définitions

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Définition d'une partition continue de l'unité localement finie

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Définition 1 — On appelle partition de l'unité d'un espace topologique  , une famille   de fonctions continues, définies sur   et à valeur dans l'intervalle [0, 1], telles que pour tout point  , les deux conditions suivantes soient satisfaites :

  • il existe un voisinage de   tel que toutes les fonctions   soient nulles sur ce voisinage à l'exception d'un nombre fini d'entre elles ;
  • la somme de toutes les valeurs prises par les fonctions   en   soit égale à 1, c'est-à-dire :   pour tout  

Définition d'une partition subordonnée à un recouvrement

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Soient   un espace topologique et   un recouvrement ouvert localement fini de cet espace.

Définition 2 — On appelle partition de l'unité subordonnée au recouvrement  , une partition de l'unité   au sens de la définition 1, indexée par le même ensemble   que le recouvrement, et telle qu'en outre, pour tout  , le support de   soit inclus dans  .

Théorèmes d'existence

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Parmi toutes les formulations possibles des théorèmes d'existence, nous proposons ci-dessous deux variantes. Nous empruntons la première variante à N. Bourbaki[1] et la deuxième à Laurent Schwartz[2].

Théorème 1 — Soit   un espace normal. Pour tout recouvrement ouvert localement fini   de  , il existe une partition continue de l'unité subordonnée au recouvrement  


Théorème 2 — Soit   un ouvert de  . Pour tout recouvrement ouvert   de  , il existe

  • une partition C de l'unité   de  , telle que le support de chaque   est compact et inclus dans l'un des   ;
  • une partition C de l'unité   subordonnée au recouvrement  , et telle que sur tout compact de  , seul un nombre fini des   ne sont pas identiquement nulles.

Le premier théorème montre que le fait qu'un espace soit normal est une condition suffisante pour l'existence de partitions de l'unité subordonnées à un recouvrement ouvert localement fini. Le second, démontré ici dans un cas particulier mais qui se généralise à tout espace paracompact, fournit des partitions de l'unité subordonnées à un recouvrement ouvert quelconque. Ces deux formulations montrent que l'on peut en général choisir soit d'avoir le support indexé par le recouvrement d'ouverts ou bien le support compact.

Exemples de partition de l'unité de l'axe réel

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  • L'existence de partitions de l'unité continues ou même dérivables est assez intuitive. Il est facile d'en construire. On considère, par exemple, la fonction
 

On vérifie aisément que la famille des fonctions   définies par

  constitue une partition de l'unité dérivable de   subordonnée au recouvrement ouvert  
  • Voici maintenant un exemple de construction d'une partition de l'unité indéfiniment dérivable.

On considère la fonction

 

Elle est indéfiniment dérivable sur  . Par conséquent, la fonction   définie par

 

est, elle aussi, indéfiniment différentiable sur  , strictement positive dans l'intervalle ]–1, 1[ et identiquement nulle en dehors. On considère alors la famille des fonctions   définies par

 

On remarque que la définition est cohérente : en effet, chaque point   se trouve à l'intérieur d'au moins l'un des intervalles de la famille   (en fait chaque point se trouve à l'intérieur de deux intervalles, sauf les entiers qui ne se trouvent à l'intérieur que d'un seul intervalle). Et donc en chaque point  , l'un au moins des éléments de la somme est strictement positif. Donc le dénominateur n'est jamais nul.

On vérifie aussi aisément qu'en chaque point  

 

La famille des   forme donc bien une partition de l'unité de l'axe réel, indéfiniment dérivable, et subordonnée au recouvrement ouvert  .

Applications

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Les partitions de l'unité sont utilisées dans les questions d'intégration d'une fonction définie sur une variété[3]. On commence par démontrer la propriété voulue sur une fonction dont le support est contenu dans une seule carte locale de la variété, et ensuite grâce à une partition de l'unité qui recouvre la variété, on étend le résultat à la variété tout entière. On se reportera aussi avec intérêt à l'article de présentation du théorème de Stokes.

Les partitions de l'unité sont également utilisées en analyse fonctionnelle, par exemple dans l'étude des espaces de Sobolev définis sur un ouvert de   avec une frontière, pour montrer la densité des fonctions C à support compact définies sur  [4],[5].

Ils sont aussi parfois utilisés pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles, par exemple pour construire dans un domaine un champ de vecteur solénoïdal dont la valeur à la frontière du domaine est fixée[6].

Notes et références

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  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], Chapitres 5 à 10, Springer, 2007, IX.47, Th. 3.
  2. L. Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann, 1978, chap. I, Th. II.
  3. Y. Choquet-Bruhat, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs, Dunod, 1968, II.B.8.
  4. (en) R. Adams et J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 3.15.
  5. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], Masson, 1983, IX.2.
  6. (en) O. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of viscous incompressible Flow, Gordon and Breach Science Publishers, 1987, chap. I, Sec.2, 2.1.

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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