En mathématiques, un faisceau injectif est un objet injectif (en) d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique fixé, un faisceau est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau d'un faisceau , tout morphisme injectif de dans se prolonge en un morphisme de dans . Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche est exact.

Propriétés

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Lemme — Tout faisceau   de groupes abéliens sur   se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau   de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue
 
où tous les   sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

Preuve du lemme

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  • Pour tout point   de  , il existe un plongement de la fibre   dans un groupe abélien injectif  . Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel   et défini par :
     
    Alternativement, si   est fermé dans   alors   avec   (plus généralement,  ).

Pour tout faisceau   de groupes abéliens, on a  . Il s'ensuit que   est un faisceau injectif.

  • Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle
     
    est un monomorphisme de   dans un faisceau injectif.

Article connexe

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Module injectif