Ouvert-fermé
Ne doit pas être confondu avec Principe ouvert/fermé.
En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes. Mais au sens mathématique, ces deux notions ne sont pas mutuellement exclusives[1] : une partie de X est dite fermée si son complémentaire dans X est ouvert, donc un ouvert-fermé est simplement un ouvert dont le complémentaire est aussi ouvert.
Exemples modifier
Dans tout espace topologique X, l'ensemble vide et l'espace entier X sont tous deux des ouverts-fermés[2].
Un espace est discret si et seulement si toutes ses parties sont des ouverts-fermés.
Dans une partition d'un espace en ouverts, tous les éléments de la partition sont des ouverts-fermés, ainsi que toute réunion (éventuellement infinie) de tels éléments. Par exemple :
- dans l'espace X = ]0, 1[ ∪ ]2, 3[ (muni de la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), les deux ouverts ]0, 1[ et ]2, 3[ sont complémentaires l'un de l'autre donc sont aussi fermés ;
- dans l'espace ℚ des rationnels (muni de la topologie induite par celle de ℝ), les deux ensembles et sont des ouverts-fermés ;
- dans un espace localement connexe X, toute réunion de composantes connexes de X est un ouvert-fermé ;
- dans un groupe topologique, tout sous-groupe ouvert est aussi fermé.
Dans une partition en fermés (comme les composantes connexes), si la partition est finie alors les parties sont encore des ouverts-fermés. Par exemple : dans un groupe topologique, tout sous-groupe fermé d'indice fini est un ouvert-fermé.
Propriétés modifier
- Un espace X est dit connexe si ses seuls ouverts-fermés sont ∅ et X.
- Un espace non vide est dit de dimension zéro si ses ouverts-fermés forment une base d'ouverts.
- Une partie est un ouvert-fermé si et seulement si sa frontière est vide.
- Tout ouvert-fermé de X est une réunion (éventuellement infinie) de composantes connexes de X.
- Les ouverts-fermés de X forment une sous-algèbre de Boole de l'ensemble des parties de X. D'après un théorème de Stone, toute algèbre de Boole peut être obtenue de cette façon, pour un certain espace X compact et de dimension zéro (donc totalement discontinu).
Notes et références modifier
- De plus, une partie n'est souvent ni ouverte, ni fermée.
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.5, aperçu sur Google Livres.
Lien externe modifier
(en) Sidney A. Morris, « Topology Without Tears »,
