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Ordre total

Relation d'ordre pour laquelle tout couple d'élément est comparable

En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que

.

On dit alors que E est totalement ordonné par ≤.

Sommaire

DéfinitionModifier

Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) :

Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre. La quatrième fait de cet ordre un ordre total.

ExemplesModifier

  • L'ensemble des lettres d'un alphabet est totalement ordonné par un ordre alphabétique.
  • Tout corps euclidien, comme le corps ℝ des réels, est muni d'un ordre total naturel : xy si et seulement si y – x est un carré.
  • Soient f : XY une injection, ≤ un ordre sur Y, et ≼ l'ordre induit sur X en posant : x1x2 si et seulement si f(x1) ≤ f(x2). Si ≤ est total alors ≼ aussi. En particulier : toute restriction à une partie X de Y d'un ordre total sur Y est un ordre total sur X. Par exemple, toute partie de ℝ est totalement ordonnée par la relation d'ordre usuelle.
  • Si un ordre ≤ sur E est total, alors l'ordre opposé ≥ sur E est total (la réciproque en résulte).
  • L'ordre lexicographique sur le produit cartésien d'un ensemble bien ordonné d'ensembles totalement ordonnés, est lui-même un ordre total ; par exemple, tout ensemble de mots est totalement ordonné par l'ordre alphabétique, et tout bon ordre est un ordre total.
  • Une chaîne d'un ensemble partiellement ordonné (E, ≤) est une partie de E sur laquelle l'ordre ≤ est total. Cette notion joue un rôle important en théorie des ensembles, par le lemme de Zorn.
  • On peut définir un ensemble totalement ordonné comme un treillis dans lequel {ab, ab} = {a, b} pour tous a, b ; on peut alors poser ab si et seulement si a = ab ; on démontre qu'un ordre total est aussi un treillis distributif.
  • D'après le théorème d'extension de Szpilrajn, tout ordre partiel ≤ sur un ensemble E est prolongeable en un ordre total sur E, appelé une extension linéaire de ≤.

Contre-exemplesModifier

Le cas finiModifier

En théorie des catégoriesModifier

Les ensembles totalement ordonnés forment une sous-catégorie de la catégorie des ordres, dont les morphismes sont les applications croissantes.

Toute bijection croissante d'un ordre total dans ordre quelconque est un isomorphisme d'ordres.

Ordre strict totalModifier

La bijection canonique entre les ordres stricts et les ordres sur un même ensemble E associe une relation d'ordre strict < (antiréflexive et transitive donc antisymétrique) à une relation d'ordre ≤ (réflexive, transitive et antisymétrique), par :

x < y ⇔ (xy et xy)

ou encore :

xy ⇔ (x < y ou x = y).

Un ordre ≤ est total si et seulement si son ordre strict associé < vérifie :

x, yE (x < y ou x = y ou y < x).

On appelle ordre strict total tout ordre strict vérifiant cette propriété, dite « de trichotomie ».

RéférenceModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Total order » (voir la liste des auteurs).

Voir aussiModifier