Corps euclidien

En algèbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré.

PropriétésModifier

ExemplesModifier

Contre-exemplesModifier

Clôture euclidienneModifier

Soit K un corps ordonné. Une clôture euclidienne de K est un corps euclidien contenant K et minimal pour cette propriété[4]. Les clôtures euclidiennes de K sont les sous-corps de codimension 2 de sa clôture quadratique K2 et sont isomorphes (en tant que corps ordonnés)[4],[5] ; ce sont aussi les intersections de K2 avec les clôtures réelles de K[4], ou encore, les extensions de corps ordonné de K maximales parmi les sous-corps de K2[6].

Pour toute partie non vide M de ℝ, la clôture euclidienne du corps ℚ(M) engendré par M est l'ensemble des longueurs constructibles à la règle et au compas à partir de celles appartenant à M. La clôture euclidienne d'un sous-corps K de ℝ est la réunion de tous les corps obtenus à partir de K par une tour d'extensions quadratiques réelles.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclidean field » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) George E. Martin, Geometric Constructions, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 206 p. (ISBN 978-0-387-98276-2), p. 89.
  2. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 270.
  3. Martin 1998, p. 35-36.
  4. a b et c Lam 2005, p. 245-246.
  5. (de) Eberhard Becker (de), « Euklidische Körper und euklidische Hüllen von Körpern », J. reine angew. Math., vol. 268/269,‎ , p. 41-52 (lire en ligne).
  6. (en) Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 124), , 288 p. (ISBN 978-0-8218-4041-2, lire en ligne), p. 177