Noyau de sommabilité

En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Définition

Soit $X$ l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ ou le cercle unité $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ (ou $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur $X$ est une famille $(k_{t})_{t>0}$ de fonctions intégrables sur $X$ telle que :

1. $\int _{X}k_{t}=1$
2. $\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|<\infty$
3. pour tout fermé $Y$ de $X$ ne contenant pas $0$, $\lim _{t\to 0^{+}}\int _{Y}|k_{t}|=0$.

Une variante est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, $t\to 0^{+}$ par $n\to +\infty$.

Si les fonctions $k_{t}$ sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur $\mathbb {R} ^{n}$, si $k$ est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille $(k_{t})_{t>0}$ définie par $k_{t}(x):=t^{-n}k(x/t)$ est un noyau de sommabilité.

• Un exemple est le noyau de Poisson sur $\mathbb {R}$, qui correspond à la fonction $k:x\mapsto {\frac {1}{\pi }}{\frac {x}{1+x^{2}}}$.
• Un autre est le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} ^{n}$, qui correspond à la fonction gaussienne $k:x\mapsto \exp(-\pi \|x\|^{2})$.
• On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

• le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité ($\|D_{n}\|_{1}\to \infty$) mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un.
• le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par $t:=1-r$ avec $r\in [0,1[$) sont des noyaux de sommabilité.
• le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ est le noyau de sommabilité $(w_{t})_{t>0}$ donné par : $w_{t}(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-4\pi ^{2}n^{2}t+2\pi \mathrm {i} nx}={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\sum _{j=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x+j)^{2}/4t}$.

Approximation par convolution

La principale propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.

Théorème — Pour tout noyau de sommabilité $(k_{t})_{t>0}$ (sur $X=\mathbb {R} ^{n}$ ou le cercle),

$\lim _{t\to 0^{+}}k_{t}\ast f=f$, aux sens suivants :

1. uniformément sur K, si $f$ est mesurable et bornée et si K est un compact en tout point duquel $f$ est continue ;
2. uniformément sur X, si $f$ est continue et (si $X=\mathbb {R} ^{n}$) nulle à l'infini ;
3. dans L^p(X) (1 ≤ p < ∞), si $f$ est p-intégrable.

Démonstration

D'après l'hypothèse 1 :

$k_{t}\ast f(x)-f(x)=\int _{X}k_{t}(y)\left(f(x-y)-f(x)\right)\,\mathrm {d} y$.

Notons $M=\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|$ (fini d'après l'hypothèse 2) et fixons $\varepsilon >0$.

1. Il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\forall x\in K\quad |f(x-y)-f(x)|\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$. Pour tout $x\in K$, on en déduit :

   $\left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{\infty }\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$

   donc (d'après l'hypothèse 3) pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

   $\forall x\in K\quad \left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon$.

2. Le calcul est identique, en remplaçant parout « $x\in K$ » par « $x\in X$ ».
3. D'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

   ${\begin{aligned}\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}&\leq \left[\int _{X}\left(\int _{X}\left|f(x-y)-f(x)\right|\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right]^{1/p}\\&\leq \int _{X}\|\tau _{y}f-f\|_{p}\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\end{aligned}}$

   où l'opérateur de translation $\tau _{y}$ est défini par $\tau _{y}f(x):=f(x-y)$.

   Or il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\|\tau _{y}f-f\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ donc tel que

   $\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{p}\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$.

   On en déduit (d'après l'hypothèse 3) que pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

   $\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq \varepsilon$.

Bibliographie

• (en) Joan Cerda, Linear Functional Analysis, AMS, 2010 (lire en ligne)
• (en) Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, CUP, 2004, 3^e éd. (1^re éd. 1968) (lire en ligne)
• (en) Hugh L. Montgomery, Early Fourier Analysis, AMS, 2014 (lire en ligne)
• (en) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991, 2^e éd. (lire en ligne)
• (en) Satoru Igari, Real Analysis : With an Introduction to Wavelet Theory, AMS, 2000 (lire en ligne)
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