Nombre triangulaire centré

type de nombre polygonal centré

Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un triangle équilatéral avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches triangulaires autour de ce centre. Ainsi, le n-ième triangle centré comporte n points sur chaque côté.

Relation de récurrence et formule expliciteModifier

Pour tout entier n ≥ 2, la n-ième couche triangulaire équilatérale comporte 3(n – 1) points (ce nombre est parfois appelé le n-ième gnomon)[réf. souhaitée]. Par conséquent :  , si bien que le n-ième nombre triangulaire centré est 1 + 3 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :  .

ExemplesModifier

 
Représentation du quatrième nombre triangulaire centré.

Les trois plus petits nombres triangulaires centrés sont :      

Le quatrième est :  

Relations avec les nombres triangulairesModifier

 .

  • Tout nombre triangulaire centré supérieur ou égal à 4 est la somme de trois nombres triangulaires consécutifs :

 .

Listes de nombres triangulaires centrésModifier

Somme de nombres triangulaires centrésModifier

Pour tout entier n ≥ 1, la somme des n plus petits nombres triangulaires centrés est :   Si n > 2, cette somme est la constante magique de tout carré magique normal d'ordre n.

Crédit d'auteursModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered triangular number » (voir la liste des auteurs).