Ouvrir le menu principal

Mécanique spatiale

Lois fondamentalesModifier

Article détaillé : mouvement képlérien.

Les lois de KeplerModifier

Les premières lois de mécanique spatiale furent découvertes expérimentalement par l'observation du mouvement des planètes par Kepler au début du XVIIe siècle. Elles constituent les lois du mouvement képlérien. Rappelons ici les principaux résultats :

  • Première loi (1609) : les orbites des planètes sont des ellipses planes dont le Soleil occupe l'un des foyers.
  • Seconde loi (1609) : loi des aires : des aires égales sont balayées par le rayon vecteur joignant le Soleil à la planète en des intervalles de temps égaux.
  • Troisième loi (1619) : le rapport entre le cube du demi-grand axe   et le carré de la période   de révolution de la planète autour du Soleil est indépendant de la planète :
     
    Elle peut aussi s'écrire mathématiquement :
     
      est la période de l'orbite,   son demi-grand axe et  , avec   constante de gravitation universelle et   la masse du Soleil.

Ces lois sont encore utilisées avec une bonne approximation dans la plupart des calculs simples de mouvement orbitaux. Il s'agit du type de mouvement orbital de référence, et on calcule notamment des mouvements réalistes comme perturbations faibles d'un mouvement képlérien.

Mouvement à force centraleModifier

Le mouvement képlérien est un mouvement à force centrale. Ceci implique notamment une loi de conservation de l'énergie qui s'écrit dans le cas de l'ellipse :

 

  est la vitesse du corps sur son orbite,   la distance entre le corps et le centre attracteur. Les autres notations sont identiques.

Paramètres orbitauxModifier

Article détaillé : Orbite.
 
Paramètres orbitaux : le corps central S occupe un des deux foyers de l'ellipse de périastre P tracée sur le plan orbital P1. Le plan P2 est un plan de référence lié au système de coordonnées choisi (écliptique ou équatorial), tandis que γ représente le point vernal.

Plutôt que de décrire le mouvement d'un objet spatial par des coordonnées cartésiennes classiques, on va utiliser le fait que le mouvement se déroule sur une ellipse dans l'espace. On peut ainsi remplacer le jeu de 6 coordonnées cartésiennes classique   par un jeu de 6 nombres appelées paramètres orbitaux :

Il existe des formules explicites permettant de passer entre ces 2 jeux de coordonnées (référence à venir).

Les paramètres orbitaux des objets (satellites et débris spatiaux) en orbite terrestre sont suivis en permanence et publiés dans un format standard (voir TLE, Two-Line Elements).

Les repères en mécanique spatialeModifier

Pour décrire une orbite à l'aide des paramètres orbitaux, le référentiel galiléen choisi sera géocentrique ; ses axes sont l’axe Nord-Sud de la Terre, fixe en première approximation, l’axe vernal (l’intersection entre le plan équatorial et le plan de l’écliptique à un instant donné) et le dernier tel que les trois forment un repère orthonormé direct.

Le mouvement képlérien perturbéModifier

Les calculs standards en mécanique spatiale se réalisent dans un cadre képlérien, où en particulier, on suppose que la seule force agissant sur le véhicule est l'attraction terrestre, et que la Terre est sphérique et homogène. Ces deux hypothèses sont fausses en réalité ; l'expérience montre néanmoins que les accélérations causées par les forces autres que l'attraction centrale sont faibles devant l'accélération képlérienne. C'est pourquoi on considère que les autres forces sont des perturbations du mouvement.

Les forces de perturbationsModifier

Forces gravitationnellesModifier

Ces forces ne dépendent que de la répartition des masses autour du satellite, et dérivent d'un potentiel de position. Notons   ce potentiel.

Potentiel terrestreModifier
Article détaillé : harmonique sphérique.

Dans le cas képlérien, la Terre est sphérique, et le potentiel terrestre se calcule simplement, et vaut  . Dans le cas réel, le volume d'intégration est beaucoup plus complexe. Pour avoir une forme exploitable, on écrit ce potentiel sous la forme d'harmoniques sphériques, et on obtient :

 

Dans cette expression,   est le rayon équatorial terrestre,   est une constante inertielle de la Terre appelée harmonique zonal d'ordre n,   et   sont également des constantes d'inertie appelées harmoniques tesseraux,   est le polynôme de Legendre d'ordre n,   la fonction de Legendre propre associée.  ,   et   sont le rayon-vecteur, la longitude et la latitude géocentrique du point où l'on calcule le potentiel.

Le premier terme de ce développement,  , traduit l'aplatissement aux pôles. Ce terme a une intensité relative de   par rapport au potentiel képlérien, tandis que les termes suivants sont en  .

Attraction due à la Lune ou au SoleilModifier

En prenant un repère dans lequel le véhicule a pour coordonnées   et le nouveau corps attracteur, Lune ou Soleil,  , alors le potentiel supplémentaire dû à ce corps s'écrit :

 

avec :

 

L'ordre de grandeur rapporté au potentiel képlérien est de   dans le cas du Soleil et de   pour la Lune.

Forces non-gravitationnellesModifier

Ces forces, contrairement aux précédentes, ne dérivent pas d'un potentiel. On va donc cette fois calculer les accélérations induites par ces forces.

Le frottement atmosphériqueModifier

La force du frottement atmosphérique est due à l'interaction entre l'atmosphère et le véhicule. Vu les hautes vitesses des engins satellisés, malgré la faible densité de l'atmosphère à ces altitudes, on ne peut négliger cette force qu'à partir de 1 500 km d'altitude.

La force créée le long de l'axe de la vitesse de l'engin, qui sera donc opposée à cette vitesse, s'écrit :

 

Dans cette relation,   est la densité de l'atmosphère,   une surface de référence,   la vitesse du véhicule par rapport à l'atmosphère,   le coefficient de traînée du véhicule et   sa masse.

Il existe également des forces de nature similaire selon les autres axes de coordonnées (forces de portance par exemple) mais leurs effets sont en général plus faibles. Selon l'altitude, cette force de frottement a des intensités rapportées à celle du potentiel képlérien de   à  .

Pression de radiation solaireModifier

Cette force est due à l'interaction des photons avec le véhicule. L'accélération due à la pression de radiation directe venant du Soleil peut s'écrire :

 

  est un coefficient valant 1 si le satellite est éclairé et 0 sinon,   est une surface de référence,   la pression de radiation solaire directe par unité de surface, valant en moyenne  ,   le coefficient de réflexivité, de l'ordre de  ,et   le vecteur unitaire de la direction Soleil-véhicule.

Les équations du mouvement perturbéModifier

Équations de LagrangeModifier

Équations de GaussModifier

Les manœuvres orbitalesModifier

  Pour un article plus général, voir Manœuvre orbitale.

Le principe général des manœuvres est de modifier un ou plusieurs paramètres orbitaux à l'aide des moyens de propulsion de l'objet spatial considéré.

Force de poussée et variation de masse de l'enginModifier

Dans le cas d'une propulsion avec moteur à ergol, la force de poussée peut s'écrire :

 

  est le débit de matière entrant,   la constante de gravitation, et   l'impulsion spécifique.

Fréquemment, lors des manœuvres, cette poussée s'effectue pendant un temps négligeable devant la période de l'orbite. On peut alors faire l'hypothèse de poussée impulsionnelle : on considère alors que cette poussée se produit de façon instantanée. Cette hypothèse permet d'utiliser l'équation de Tsiolkowski pour approximer la variation de masse d'ergol pendant la manœuvre :

 

Dans ce cas   est la variation du module de la vitesse pendant la manœuvre et   la masse initiale d'ergol.

Modification de la forme de l'orbiteModifier

On cherche à modifier les paramètres de forme   et  , de façon à minimiser l'ergol consommé. On montre que pour un   donné,   est minimum si la poussée est colinéaire à la vitesse et la vitesse est maximale.

On réalise donc les manœuvres au périastre, qui remplit les 2 conditions. Les manœuvres optimales de modification de la forme de l'orbite consistent alors à modifier l'apoastre.

Un exemple d'orbite de transfert utilisant cette manœuvre optimale est l'orbite de Hohmann.

Modification du plan de l'orbiteModifier

On cherche cette fois à modifier les paramètres   et  . Si l'on souhaite modifier   uniquement, il s'agit d'effectuer la manœuvre au niveau du nœud ascendant ou descendant, pour faire tourner l'orbite autour de cette ligne. Si on veut passer de l'inclinaison   à l'inclinaison  , on montre que la variation de vitesse nécessaire s'écrit :

 

  est alors la vitesse au nœud de manœuvre.

Les modifications de   sont quant à elles complexes et coûteuses en ergols.

RéférencesModifier

  • Droit français : arrêté du 20 février 1995 relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
  • B.Escudier, J-Y Pouillard, Mécanique spatiale, Toulouse, ENSAE Toulouse, (réimpr. 1996, 1997), 111 p. (ISBN 2-84088-028-8)
    Polycopié de l'ISAE sur la mécanique spatiale.
  • O.Zarrouati, Trajectoires spatiales, Toulouse, CNES - Cépadues Editions
  • M-N.Sanz, A-E.Badel, F.Clausset, Physique - Tout-en-un 1re année, Paris, Dunod - J'intègre, 2002-2003, 725 p. (ISBN 2-10-007950-6)

Voir aussiModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexesModifier