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En dynamique des fluides, le coefficient de traînée, dont le symbole normalisé est Cx, CA ou CD ( en anglais[a], en allemand[b]) fait partie de la famille des coefficients aérodynamiques. C'est un nombre sans dimension qui est utilisé pour quantifier la traînée ou résistance d'un objet dans un fluide, tel que l'air ou l'eau. Il est toujours associé à une surface particulière (selon le contexte, appelée maître-couple, surface alaire ou plus généralement surface de référence). La définition adimensionnelle actuelle du coefficient de traînée a été proposée par Ludwig Prandtl sur une idée de Richard Knoller [1],[2].

Un objet mobile se déplaçant dans un fluide pesant subit de la part de ce fluide une distribution de pression et un frottement dont la résultante s'oppose à sa marche. La composante de cette résultante selon la direction du mobile est appelée traînée. L'intensité de la force de traînée est exprimée en fonction de la vitesse, de la forme et de la taille du mobile, du fluide dans lequel il interagit.

Le coefficient de traînée de tout objet comprend au minimum la somme de deux effets : la traînée liée au frottement (ou friction) et la traînée liée à la pression (traînée de forme). Ces effets sont parfois découpés suivant les diverses parties de l'objet (par exemple ogive, fuselage et ailerons pour une fusée) et pour chacune d'entre elles on définit une traînée ne tenant pas compte des autres. Lorsque l'on s'intéresse à la structure complète on voit donc apparaître des termes de couplage liés aux interactions entre les diverses parties.

DéfinitionModifier

Le coefficient de traînée   est défini par[3] :

 

où :

  est la force de traînée, qui est par définition la composante de la force dans la direction du vecteur vitesse,
  est la masse volumique du fluide,
  est la vitesse de l'objet relativement au fluide,
  est la surface de référence.

La masse volumique et la vitesse sont prises à l'infini amont (ou en tous cas loin de toute perturbation locale due à l'obstacle). Nota : on reconnait au dénominateur la pression dynamique   donnée par  .

La surface de référence est une surface choisie arbitrairement, souvent celle du maître-couple, projection du solide sur un plan perpendiculaire au déplacement, sauf dans le cas des ailes en aéronautique, pour lesquelles on rapporte les forces à la surface alaire, projection des ailes sur un plan contenant la corde des profils, ce qui permet de comparer des profils indépendamment de leur épaisseur. Néanmoins pour des études particulières, d'autres surfaces de référence peuvent être utilisées (voir plus bas), la condition sine qua non étant qu'il faut toujours préciser ce choix.

Force (ou résultante) de traînéeModifier

Notée   ou  , elle s’exprime en newtons et est une force dépendante du   et d’autres facteurs aérodynamiques cités plus haut. On peut l’exprimer par la formule suivante[4],[5] :

 

  est la masse volumique du fluide dans lequel a lieu le déplacement (en kg/m³),   la surface de référence ayant été choisie lors de la détermination du   (en m2),   ledit coefficient de traînée (sans dimension), et   la vitesse relative du mobile par rapport au fluide (en m/s).

Cette équation est basée sur l'hypothèse que la force de trainée de tout objet est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse relative. En réalité, sauf pour quelques corps particuliers, le   n'est pas constant mais varie en fonction de la vitesse du fluide, de sa direction, de la position de l'objet et de sa taille, de la densité et viscosité du fluide. La vitesse, la viscosité cinématique et une longueur caractéristique sont incorporées dans un paramètre sans dimension: le nombre de Reynolds  . Le   est par conséquent fonction de  . Dans le cas d'un fluide compressible à grande vitesse, le   est aussi fonction du nombre de Mach  .

Choix de la surface de référenceModifier

Bien que les   soient le plus souvent donnés en référence à la surface frontale (sauf dans l'aviation où ils sont donnés en référence à la surface alaire), on trouve des   donnés en référence à beaucoup d’autres surfaces. Dans la pratique, le   d’un corps peut être établi en référence à n’importe quelle surface (même une surface qui n’appartienne pas au corps) pourvu que cette surface de référence soit précisée[6].


Pour bien raisonner au sujet du choix de la surface de référence, il faut prendre conscience de la fonction du   : Le   sert à effectuer des comparaisons, à nombre de Reynolds proches, entre des corps de formes identiques mais d’échelles différentes. Ainsi, le   d’un cube exposé normalement (c.-à-d. que le courant fluide frappe l’une des faces perpendiculairement) vaut  . Pour ce corps à arêtes vives, le Reynolds n’intervient pas sur le  . On pourra donc comparer le   de tous les cubes (exposés normalement) quelle que soit leur échelle (c.-à-d. que ces   aient été relevés sur des cubes de 10 cm ou de 10 mètres de côtés). Par contre, pour d’autres corps, comme la sphère, le cylindre ou les corps profilés 2D et 3D, le Reynolds a beaucoup d’influence sur le   mesuré. Il conviendra donc de comparer les   de tels corps à Reynolds proches. Pour la sphère et le cylindre, l’influence du Reynolds diamétral est même décisive dans la zone dite de crise de traînée (où une très petite variation de Reynolds pouvant produire un division du   par un facteur   pour la sphère, par exemple). Cette influence cruciale du Reynolds (dans cette plage ‘‘critique’’ rend plus difficile la comparaison de   de sphères de diamètres différents (la comparaison ne pouvant se faire qu’entre sphères de Reynolds identiques).

 
Le Cx de la sphère est très dépendant du Nombre de Reynolds.

Fort heureusement, ainsi que le montre le graphe ci-contre, le   s’avère peu ou prou constant dans la plage de Reynolds diamétral courant de 40 000 à 300 000. Dans cette plage, nommée plage de Newton, la comparaison du   de sphères lisses de diamètres différents est donc aisée[7].


De la même façon, et même pour le cylindre et les corps profilés, le   peut présenter des plages de relative invariance avec le Reynolds[8], ce qui facilitera la comparaison de   de corps de tailles différentes.


Ces mises en gardes étant faites, revenons au choix de la surface de référence : Comme surface de référence, les ingénieurs choisissent plutôt une surface qui soit parlante lors des comparaisons qu’ils désirent faire entre des corps de mêmes formes ou de formes approchantes :

  • S’il s’agit, par exemple, de caréner un chargement de forme globalement sphérique, c’est naturellement la section circulaire circonscrite au chargement qui sera choisie comme surface de référence.
  • S’il s’agit de caréner une roue de train d’atterrissage, c’est la surface frontale de cette roue que l’on prendra comme surface de référence[9]
  • S’il s’agit de dessiner les formes d’un corps fuselé de volume donné comme un dirigeable ou un sous-marin, c’est la puissance 2/3 du volume du corps qui sera choisie comme surface de référence (cette surface étant une surface virtuelle).
  • Si l’on s’intéresse à la traînée de friction d’un corps profilé (image du sous-marin Albacore ci-contre), c’est bien la surface mouillée totale de ce corps qui constituera la meilleure surface de référence puisque la traînée des tel corps profilés est essentiellement une traînée de friction (laquelle est liée à la surface mouillée et, bien sûr, au Reynolds).
  • Si l’on s’intéresse au   d’une aile, c’est la surface alaire que l’on prendra comme référence, de sorte que la finesse de l’aéronef (son rapport Portance/Traînée) sera facile à obtenir[10].
  • S’agissant de la traînée d’une automobile, la surface de référence devrait être, idéalement, non pas la surface frontale du véhicule, mais la surface frontale d’un certain volume de vie (volume de vie des passagers qui serait normalisé selon le confort de route exigé[11]) ou éventuellement de la puissance 2/3 de ce volume de vie normalisé. Le   ainsi déterminé deviendrait réellement celui d’un corps à volume de vie donné, puisque la fonction d’une automobile est de transporter avec le moins de dépense d’énergie un certain nombre de passagers dans des conditions de confort données. Dans la pratique, cet surface de référence idéale n’existe pas et la surface de référence des   annoncés par les constructeurs d’automobiles (ces   étant des arguments commerciaux) reste souvent non précisée : la surface frontale des rétroviseurs est-elle intégrée à cette surface de référence ?, par exemple. De plus, plusieurs façons de mesurer la surface frontale d’un véhicule coexistent, l’une d’entre elles intégrant l’espace existant sous la voiture entre les roues.
 
La Schlörwagen (de) (l'avant est à gauche)

À titre d’exercice, on peut penser au   de la voiture de Karl Schlör (image ci-contre) : Karl Schlör a en effet abaissé notablement la traînée de son véhicule en carénant presque totalement les roues avant. Mais, ce faisant, il a gagné sur les deux tableaux puisque le calcul du   se fait à partir d’une traînée diminuée (ce qui est juste) mais aussi à partir d’une surface frontale augmentée de 14 % (ce qui cause des problèmes d’encombrement du véhicule), cette augmentation de la surface frontale diminuant d'autant le  .

 
La coque nue du sous-marin Albacore (le vent vient de droite).

Dans la pratique, on trouve dans les textes techniques toutes sortes de surfaces de référence. L’exemple du sous-marin Albacore (image ci-contre lors de tests dans la soufflerie grandeur nature de Langley en 1950) est instructif à ce sujet dans la mesure où la surface de référence adoptée par les ingénieurs de la NACA est le carré de la longueur   du modèle[12]. Cette surface (virtuelle) de référence est curieuse, mais c’est sans importance puisqu’elle est précisée. Le   annoncé (en référence à  ) étant  , on en tire facilement la traînée ( , si   est la pression dynamique). En divisant cette traînée par   et la surface frontale  , on écrit le   frontal :

 

L’élancement   du modèle étant  , on obtient finalement le   frontal très faible de   pour ce corps profilé[13].

FinesseModifier

Le   intervient dans le calcul de la finesse aérodynamique (c'est le rapport  ). Cette finesse aérodynamique représente en quelque sorte le rendement de l'aérodyne (avion, planeur, hélicoptère) : plus la finesse d'un aérodyne est faible, plus son moteur devra apporter de puissance pour entretenir le vol horizontal.

Valeurs du CxModifier

Si pour certains corps simples (plaque ou disque face à l'écoulement) le   ne dépend pas du nombre de Reynolds de l'écoulement, pour la plupart des corps, le   total d'un mobile dépend du coefficient de frottement, de la forme du profil de vitesse dans la Couche Limite (profil « turbulent », profil laminaire), de la traînée induite par la portance.

Le coefficient de frottement dépend du nombre de Reynolds de l'écoulement sur le corps et du degré de laminarité de la surface de ce corps.

  • En aérodynamique, le   d'une aile (en référence à la surface alaire) est d'environ 0,005 à 0,010 en vol, selon le nombre de Reynolds et la laminarité.
  • En hydrodynamique, le   d'un foil (aile portante immergée) est d'environ 0,03 (en référence à la surface alaire) à la vitesse de croisière (pour un   de 0,6 et une finesse de 20).
  • En physique du sport, le   d'un coureur comme Usain Bolt est de 1,2[14].
  • Automobile : il peut être en dessous de 0,14 (en référence au maître couple) pour des automobiles qui effectuent des records de kilomètres avec un litre d'essence. Pour les berlines familiales construites en 2000, le   est de 0,25 pour les plus aérodynamiques[15]. La première voiture de grande série à être étudiée pour son aérodynamisme fut la Citroën DS, de 1955 ; conçue par l'ingénieur aéronautique André Lefebvre, elle atteignait un   de 0,38. Elle fut d'ailleurs remplacée par la Citroën CX, qui portait bien son nom. Dans les voitures plus modernes, le   est de 0,31 pour la citadine Citroën AX ou encore 0,35 pour la Renault Clio II. En 1989, l'Opel Calibra obtient le record pour un véhicule de 4 places avec un   de 0,26[réf. souhaitée] et ne sera détrônée que 20 ans plus tard par la Toyota Prius commercialisée en 2009 qui a un   de 0,25. La Mercedes-Benz Classe E coupé a un   de 0,24 ; il est devenu le plus bas pour les voitures de série jusqu'à la sortie en 2013 de la Mercedes-Benz CLA où la voiture a été étudiée pour que la traînée soit réduite même dans le soubassement du véhicule pour atteindre un   de 0,22[réf. souhaitée].
 
Variations du   d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds.
  • Le   d'une sphère[c] a été mesuré sur une large gamme[d] de valeurs du nombre de Reynolds « diamétral » (figure ci-contre). Comme on le voit sur ce diagramme, un peu au-dessus du Reynolds 300 000, le   de la sphère lisse est brusquement divisé par un facteur 5. C’est ce qu’on appelle « la crise de traînée de la sphère ». Ce phénomène très contre-intuitif a été constaté en premier par Giulio Costanzi de la Brigada Specialisti, à Rome, puis par Eiffel et expliqué ensuite par Prandtl comme étant dû à la transition de la Couche Limite autour de la sphère (transition depuis le régime laminaire jusqu’au régime turbulent). En conséquence, les ingénieurs considèrent souvent que la sphère lisse présente deux   : Le   sous-critique (0,5 entre les Reynolds 1 000 et 300 000, plage qui est nommée "Plage de Newton" parce que Newton y réalisa les premières mesures de  ) et le   supercritique (~0,1 pour les Reynolds au-dessus de 350 000).
  • Cette crise de traînée de la sphère est représentative de ce qui se passe sur les corps profilés 3D (comme les dirigeables) qui connaissent également une crise de traînée.
  • Tout comme la sphère, le cylindre circulaire connaît, à un certain Reynolds, une crise de traînée, avec brusque chute du  , ainsi que tous les corps profilés 2D (comme les profils d’ailes). C’est ce qui oblige à donner aux ailes des avions très lents (comme les avions à propulsion humaine) des profils très particuliers. Pour cette même raison, le bord d’attaque des ailes d’insectes ou de certains modèles réduits sont soit carrés soit dotés de poils…

On peut résumer les principales variations du   de la sphère comme suit :

Coefficient de traînée d'une sphère
Condition Expression
Stokes (écoulement de Stokes)    
H.S. Allen (écoulement intermédiaire)    
Newton (plage sous-critique)    
Plage supercritique    

  La distribution des vitesses du fluide autour d'un obstacle dépend de sa forme.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Indice « d » pour drag (« résistance, traînée »).
  2. Indice « w » pour Widerstand (« résistance »).
  3. Comme le montre la figure, les résultats diffèrent un peu selon qu'on considère une sphère lisse ou rugueuse. Les cas particuliers d'une balle de golf, d'une balle de tennis et d'un ballon de football sont également illustrés dans le diagramme, dans leurs domaines respectifs de valeurs de Re.
  4. Le diagramme (bi-logarithmique) a été établi pour les valeurs du nombre de Reynolds (Re) comprises entre 10−1 et 108. Pour Re < 10−1 on peut appliquer la formule de Stokes. Les valeurs Re > 108, transsoniques, sont difficiles à atteindre en pratique.

RéférencesModifier

  1. (en) Rapport NACA, STANDARDIZATION AND AERODYNAMICS, NACA Technical Note N° 134,
  2. Sighard F. Hoerner, Résistance à l'avancement dans les fluides, Gauthier-Villars,
  3. P. Chassaing, Mécanique des fluides, CEPADUES EDITIONS,
  4. Armando Lencastre, Hydraulique générale, Eyrolles, (réimpr. 1983, 1995), 636 p. (ISBN 2-21201894-0), « 2 - Bases théoriques de l’hydraulique », p. 83
  5. Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, Presses polytechniques romandes, (réimpr. 1991), 462 p. (ISBN 2-88074-224-2), « Chapitre 5 - Théorie potentielle des écoulements incompressibles », p. 126-179
  6. Il est extrèmement rare qu'il existe une surface de référence implicite ; la non-précision de la surface de référence d'un   rend donc ce   caduc et complètement inutile.
  7. Nous écrivons "sphères lisses" car le   de la sphère dépend beaucoup de sa rugosité dans cette plage, comme on le voit sur le graphe.
  8. Pour ces corps, (voir ce graphe).
  9. Ne serait-ce que parce qu'on devra comparer des carénages de révolution (plus simple à construire) avec des carénages à flancs verticaux aplatis (de section frontale plus faible) et qu'on ne peut comparer que des   établis avec la même surface frontale (si les   ne sont pas basés sur la même surface frontale, il faudra comparer les produits  ,   étant le   du corps i et   la surface de référence attachée à ce  )(on nomme parfois ce produit  , qui a la dimension d'une surface, surface de traînée).
  10. Ce rapport est le rapport du Coefficient de portance   sur le coefficient de traînée  , pourvu que ces deux coefficient adimensionnels utilisent la même surface de référence (la plupart du temps la surface alaire, pour les aéronefs)
  11. Bien sûr il y aurait plusieurs normes selon le nombre et la façon de placer les passagers ainsi que du confort à leur donner, de même que la quantité de bagages à embarquer.
  12. (en), Data from tests of a 1/5 scale model of a proposed high-speed submarine in the Langley full-scale tunnel, Cocke, Lipson, Scallion, NACA Technical Memorandum, [lire en ligne] [PDF].
  13. Ce   frontal est extrêmement faible ; cela est dû au fait que les tests en soufflerie ont été effectués, au Reynolds proche de 22,3 Millions (ce très fort Reynolds ayant été atteint grâce à la très grande taille du modèle, l’un des plus grands modèles jamais testés). En effet, le   d’un corps profilé étant principalement un   de friction, il diminue progressivement à mesure qu’augmente le Reynolds…
  14. (en) J. J. Hernandez-Gomez, V. Marquina et R. W. Gomez, « On the performance of Usain Bolt in the 100 m sprint », European Journal of Physics, IOP, vol. 34, no 5,‎ , p. 1227 (DOI 10.1088/0143-0807/34/5/1227, lire en ligne)
  15. (en) Aerodynamics : Cd World Record - AutoZine

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier