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Représentation visuelle d'un attracteur étrange.

Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, au moins cinq types sont définis : ponctuel, quasi périodique, périodique, étrange et spatial. Stephen Smale serait à l'origine du terme attracteur[1].

Sommaire

IntérêtModifier

Il n'est pas toujours possible de calculer finement le comportement d'un système composé d'un très grand nombre d'éléments qui interagissent (par exemple un plasma), mais si on arrive à en déterminer un attracteur, on pourra dans une certaine mesure traiter le problème en travaillant sur celui-ci. Cette méthode se montre utile, en ce qui concerne les plasmas, dans les calculs de confinement des tokamaks.

Quelques attracteurs spécifiques expliquent aussi des cas de passage d'un état chaotique à un état ordonné, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton ou pour les Planeurs dans le jeu de la vie de Conway. En règle générale, la connaissance des attracteurs permet de savoir partiellement (au moins statistiquement) ce qui va émerger du chaos, alors que la connaissance des éléments individuels du système chaotique n'y aide pas particulièrement.

DéfinitionModifier

Articles détaillés : Flot (mathématiques) et Système_dynamique.

Soit un système_dynamique   avec   l'espace des temps (  étant un temps réel continu ou bien discret) et   l'espace des phases. Un état   évolue par le flot   selon la trajectoire  . Un flot et ses trajectoires associées peuvent être engendrés par l'itération d'une fonction (dynamique discrète), les solutions d'une équation différentielle ou d'une équation aux dérivées partielles.

Il existe plusieurs définitions d'un attracteur suivant les auteurs ou le contexte.

Attracteur localModifier

Un ensemble   est un attracteur (local) si

  •   est positivement invariant c'est-à-dire   pour tout  
  •   attire un voisinage de lui-même, c'est-à-dire qu'il existe un ouvert   contenant   tel que pour tout ouvert   contenant  , il existe   tel que pour tout  ,  . Plus simplement, pour un espace métrique, la distance entre   et   tend vers 0 quand   tend vers  ,

Le bassin d'attraction de   est l'union de tous les ensembles   attirés par  . Il existe certaines variantes de cette définition principal, typiquement sur la forme de l'invariance requise[2].

Un point fixe attractif est un exemple typique d'attracteur local, qui est réduit à un singleton.

Attracteur globalModifier

Un attracteur global est un attracteur dont le bassin d'attraction est l'espace des phases   tout entier. Il contient donc l'ensemble de la dynamique asymptotique et aussi l'ensemble des trajectoires invariantes comme les points d'équilibres, les trajectoires périodiques, les cycles limites etc.

Ensembles   et  -limites et attracteurs des pointsModifier

Si   est un élément de  ,   désigne l'ensemble  -limite de   qui est l'ensemble des points d'accumulation de l'orbite de   

De même,   désigne l'ensemble  -limite de  

 

Ces deux ensembles décrivent le comportement asymptotique, passé ou futur, d'un point de l'espace des phases. On appelle attracteur futur le plus petit ensemble contenant tous les ensembles   avec  , à l'exception peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles  -limite[3].

On notera que les attracteurs passé et futur ne sont pas forcément des attracteurs au sens classique. Si par exemple un flot contient un point d'équilibre instable du type point selle qui est relié à un point d'équilibre stable par une orbite hétérocline, alors l'attracteur futur peut être exactement les deux équilibres (quand tous les points de   sont attirés par un de ces équilibres) mais un attracteur local ou global au sens classique contient aussi la trajectoire hétérocline.


Exemples d'attracteursModifier

Itération de fonctionsModifier

L'étude des suites itératives   est importante pour de nombreuses méthodes et on est particulièrement intéressé par l'existence d'un attracteur simple comme un point fixe. Mais un tel système dynamique peut aussi avoir des comportements chaotiques comme le montre l'exemple de l'attracteur de Hénon.

Équations différentiellesModifier

De nombreux systèmes issus de la physique sont modélisés par des équations différentielles ordinaires. Les systèmes dissipant de l'énergie ont naturellement des attracteurs très simples, comme le c'est le cas du pendule amorti. Mais pour des systèmes plus complexes comme ceux dérivés de la météorologie, on peut obtenir des attracteurs chaotiques, voir l'exemple fameux de l'attracteur de Lorenz, mais aussi de l'attracteur de Rössler.

Équations aux dérivées partiellesModifier

Pour une équation aux dérivées partielles, l'espace des phases est de dimension infinie. Pour obtenir un attracteur, le système doit dissiper de l'énergie et avoir certaines propriétés de compacité. L'attracteur peut alors être de dimension finie, montrant que l'étude asymptotique du système peut se ramener à un système de dimension finie. C'est le cas des équations paraboliques, des équations des ondes amorties ou bien des équations de Navier-Stokes[4].

Attracteur étrangeModifier

La forme d'un attracteur étrange « n’est pas une courbe ni une surface et n’est même pas continue mais reconstituée point par point de manière discontinue par la dynamique qui, bien qu’apparemment désordonnée, reconstitue ce type spécial d’ordre »[5]. C'est un objet mathématique abstrait (c'est-à-dire qu'il ne peut être observé dans la nature) qui modélise un ou des paramètres du système à l'étude[6]. Même si la forme est dite « étrange », elle permet d’étudier des phénomènes apparemment désordonnés qui sont influencés par des contraintes déterministes. La stabilité de cet attracteur est la conséquence de la structure sous-jacente du système[5]. L'attracteur étrange sert à « élucider les mécanismes fondamentaux de la turbulence, les réactions chimiques, les prévisions météorologiques, la génétique des populations bactériennes »[6].

Le terme « attracteur étrange » a été forgé par David Ruelle et Floris Takens (en) pour catégoriser les attracteurs créés à la suite de bifurcations d'un système décrivant l'écoulement d'un fluide[7].

Attracteur étrange non-chaotiqueModifier

C'est en 1984 que les scientifiques Grebogi, Ott, Pelikan et Yorke introduisent la notion de Strange nonchaotic attractor (SNA)[8],[9]. Un attracteur étrange non-chaotique, même s'il devient étrange lorsqu'il converge vers une limite, n'est pas dérivable par morceaux et son exposant de Lyapunov est négatif ou nul (il est donc stable ou encore non-chaotique)[8]. Il est donc peu sensible aux conditions initiales[10]. Il peut être distingué d'un attracteur périodique, quasipériodique et chaotique en appliquant le test 0-1 de la théorie du chaos[11].

Représentation visuelle d'un SNA partiellement représentatif des pulsations lumineuses de l'étoile KIC 5520878.

Les systèmes nonlinéaires périodiques amortis peuvent présenter des comportements dynamiques complexes, comportements qui peuvent se caractériser par des attracteurs étranges chaotiques (où « étranges » indique la géométrie fractale de l'attracteur alors que « chaotiques » indique la sensibilité exponentielle des orbites de l'attracteur). Les systèmes quasipériodiques soumis à des fréquences très élevées sont une extension naturelle des systèmes périodiques ; ils sont le siège de phénomènes plus nombreux, plus complexes. En plus de mouvements périodiques et quasipériodiques, les attracteurs étranges de ces systèmes peuvent présenter des mouvements chaotiques et non-chaotiques. La première expérience qui a démontré l'existence physique d'un SNA remonte à 1990 : un ruban magnétoélastique a été soumis, de façon quasipériodique, à deux signaux de fréquences très élevées[12]. Depuis, les SNA ont été observés dans les laboratoires, que ce soit dans les rubans magnétoélastiques, les cellules électrochimiques, les circuits électroniques, les décharges lumineuses des tubes au néon et, en 2015, dans les pulsations de l'étoile variable de type RR Lyrae KIC 5520878, ce qui est probablement le premier SNA observé dans un objet naturel[13],[14],[15]. L'intensité lumineuse de l'étoile KIC 5520878 varie périodiquement selon deux fréquences indépendantes dont le rapport est proche du nombre d'or[10].


Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Strange nonchaotic attractor » (voir la liste des auteurs).
  1. Differentiate dynamical systems. Bull. Am. Math. Soc. 73, 747—817(1967).
  2. B. Hasselblatt et A. Katok, "A first course in dynamics", Cambridge University Press, 2012.
  3. Tewfik Sari Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, in Géométries et Dynamiques, Khaled Sadallah et Abdelghai Zeghib (éditeurs), Hermann, Travaux en Cours 70 (2008) 259-274 (page 264).
  4. Geneviève Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations, Handbook of Dynamical Systems, Elsevier, 2002, pp. 885–982.
  5. a et b Faber Sperber et Robert Paris, « Qu’est-ce qu’un attracteur étrange ? », Matière et Révolution, (consulté le 14 mars 2015).
  6. a et b David Ruelle, « Les attracteurs étranges », La Recherche, no 99,‎ , p. 66 (lire en ligne)
  7. (en) David Ruelle et Floris Takens, « On the nature of turbulence », Communications in Mathematical Physics, vol. 20, no 3,‎ , p. 167-192 (DOI 10.1007/bf01646553, lire en ligne)
  8. a et b (en) Lluís Alsedà, « On the definition of Strange Nonchaotic Attractor » [PDF], (consulté le 14 mars 2015)
  9. (en) C. Grebogi, E. Ott, S. Pelikan et J. A. Yorke, « Strange attractors that are not chaotic », Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 13, nos 1-2,‎ , p. 261–268 (DOI 10.1016/0167-2789(84)90282-3)
  10. a et b (en) Natalie Wolchover, « Strange Stars Pulse to the Golden Mean », Quanta Magazine,‎ (lire en ligne)
  11. [PDF] (en) R. Gopal , A. Venkatesan et M. Lakshmanan « Applicability of 0-1 Test for Strange Nonchaotic Attractors », .
  12. (en) W. L. Ditto, M. L. Spano, H. T. Savage, S. N. Rauseo, J. Heagy et E Ott, « Experimental observation of a strange nonchaotic attractor », Phys. Rev. Lett., vol. 65, no 533,‎ (DOI 10.1103/PhysRevLett.65.533)
  13. (en) John F. Lindner, Vivek Kohar, Behnam Kia, Michael Hippke, John G. Learned et William L. Ditto, « Strange Nonchaotic Stars », Phys. Rev. Lett., vol. 114, no 054101,‎
  14. (en) Clara Moskowitz, « Strange Stars Pulsate According to the "Golden Ratio" », Scientific American,‎ (lire en ligne)
  15. (en) « Synopsis: Stars That Act Irrational », American Physical Society (consulté le 14 mars 2015)

Voir aussiModifier

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BibliographieModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier