En théorie des probabilités et en statistique, la loi du
(prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du
; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).
Loi du
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Paramètres
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(degrés de liberté)
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Support
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Espérance
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Mode
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pour
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Variance
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Asymétrie
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Kurtosis normalisé
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Entropie
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![{\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d10d5bcf76800e7afa268cfec2a4a26ecd8e546)
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Fonction génératrice des moments
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(voir détails dans l'article)
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Fonction caractéristique
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(voir détails dans l'article)
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modifier ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png) |
Si
sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne
et écart-type
, alors la variable
![{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4a2307b8cde142c71637127b4ac83d4db27d1)
est de loi du
.
La densité de probabilité de la loi du est :
-
où est la fonction gamma.
La fonction de répartition de la loi du est :
-
où est la fonction gamma incomplète (régularisée).
Fonction génératrice des moments
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La fonction génératrice des moments est donnée par :
-
où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
La fonction caractéristique est donnée par :
-
où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
Les moments de la loi du sont donnés par :
-
où est la fonction gamma. Les premiers moments sont :
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où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :
-
à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :
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L'entropie est donnée par :
-
où est la fonction polygamma.
- Si alors , (loi du χ²)
- , (loi normale)
- Si alors , (loi demi-normale) pour tout
- , (loi de Rayleigh)
- , (loi de Maxwell)
- , (la norme de n variables de loi normale est de loi du à k degrés de liberté.)
- la loi du est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.
Différentes lois du et
Lois |
en fonction de variables de loi normale
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loi du χ² |
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loi du χ² non centrée |
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loi du χ |
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loi du χ non centrée |
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