Loi du χ

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du $\chi$ (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du $\chi$ ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).

Loi du $\chi$
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$k\in \{1,2,\dots \}\,$ (degrés de liberté)
Support	$x\in [0;\infty [$
Densité de probabilité	${\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}$
Fonction de répartition	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Espérance	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Mode	${\sqrt {k-1}}\,$ pour $k\geq 1$
Variance	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Asymétrie	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
Kurtosis normalisé	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Entropie	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ $\,{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
Fonction génératrice des moments	(voir détails dans l'article)
Fonction caractéristique	(voir détails dans l'article)

Si $X_{i}$ sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne $\mu _{i}$ et écart-type $\sigma _{i}$, alors la variable

$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

est de loi du $\chi$.

Caractérisations

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du $\chi$ est :

$f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{1-{\frac {k}{2}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du $\chi$ est :

$F(x;k)={\begin{cases}\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

où $P(k,x)$ est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Fonctions génératrices

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est donnée par :

$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right).$

où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique est donnée par :

$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).$

où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Propriétés

Moments

Les moments de la loi du $\chi$ sont donnés par :

$\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+j}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$

où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma. Les premiers moments sont :

$\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$

$\mu _{2}=k\,$

$\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+3}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)\mu _{1}$

$\mu _{4}=k(k+2)\,$

$\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+5}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}$

$\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,$

où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,$

à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :

$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$

$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$

$\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entropie

L'entropie est donnée par :

$S=\ln \left(\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(k-\ln(2)-(k-1)\psi _{0}\left({\frac {k}{2}}\right)\right)$

où $\psi _{0}(z)$ est la fonction polygamma.

Liens avec d'autres lois

• Si $X\sim \chi _{k}(x)$ alors $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$, (loi du χ²)
• $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}(x)-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,$, (loi normale)
• Si $X\sim \chi _{1}(x)\,$ alors $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$, (loi demi-normale) pour tout $\sigma >0\,$
• $\chi _{2}(x)\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$, (loi de Rayleigh)
• $\chi _{3}(x)\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$, (loi de Maxwell)
• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|\sim \chi _{k}(x)$, (la norme de n variables de loi normale est de loi du $\chi$à k degrés de liberté.)
• la loi du $\chi$ est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.

Différentes lois du $\chi$ et $\chi ^{2}$

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
loi du χ	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
loi du χ non centrée	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Chi Distribution », sur MathWorld