Loi de Rayleigh

Loi de Rayleigh
Image illustrative de l’article Loi de Rayleigh
Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres (nombre réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh, ou distribution de Rayleigh, est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance. Cette loi de probabilité est baptisée d'après Lord Rayleigh.

Typiquement, la distance Dn à laquelle une particule se trouve de son point de départ, après avoir effectué n pas d'une marche aléatoire symétrique dans le plan, suit approximativement une loi de Rayleigh de paramètre . Dans un tout autre domaine, elle est fréquemment utilisée pour décrire l'enveloppe d'un processus de Gauss à bande étroite.

DéfinitionModifier

La loi de Rayleigh est la loi de probabilité de densité[1] :

 

pour  

PropriétésModifier

Les moments sont donnés par :

 

Γ(z) est la fonction Gamma.

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes :

 

et

 

Le coefficient d'asymétrie ((en)skewness”) est :

 

La kurtosis est :

 

La fonction caractéristique est :

 

  est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est

 

  est la fonction d'erreur.

EntropieModifier

L'entropie est

 

γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Estimation du paramètreModifier

Étant données N variables de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre  , l'estimateur du maximum de vraisemblance de σ est

 

Engendrer des variables de RayleighModifier

Étant donnée une variable U uniforme sur l'intervalle ]0;1[, la variable

 

suit la loi de Rayleigh de paramètre σ. Cela provient de la forme de la fonction de répartition, en particulier du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U.

Lien avec d'autres distributions continuesModifier

  •   suit la loi de Rayleigh si  , où   et   sont 2 variables gaussiennes indépendantes, ce qui explique le choix du symbole "σ" pour paramètriser la loi de Rayleigh.
  • Si  , alors R2 suit la loi du χ² avec deux degrés de liberté:   qui est une loi exponentielle de paramètre 1/2.
  • Si X suit une loi exponentielle  , alors  .
  • Si  , et si les   forment une suite de variables indépendantes, alors   suit une loi gamma de paramètres N et 2 :  .
  • La loi de Rice est une généralisation de la loi de Rayleigh.

Lien avec certaines distributions discrètesModifier

Marche aléatoire dans le planModifier

 
Trois réalisations de marches aléatoires isotropes sur le réseau   (en 10 000 pas). La distance maximale (ou, aussi bien, la distance terminale) sont typiquement de l'ordre de 100 pas.

Notons   la distance entre la position d'un marcheur au hasard dans le plan, après n pas au hasard, et son point de départ :   converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui signifie qu'en parcourant une distance n, le marcheur ne s'éloigne vraiment de son point de départ que de   pas approximativement, la convergence vers la loi de Rayleigh permettant de préciser cette approximation.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoireModifier

À l'aide de la bijection de Joyal, on peut montrer que la loi de la distance   entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire est donnée, pour   par

 

On peut montrer, par exemple à l'aide du lemme de Scheffé, que   converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui indique que la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de  

Points cycliques d'une applicationModifier

En vertu de la bijection de Joyal, le nombre   de points cycliques d'une application ω de   dans  , suit la même loi que  . Ainsi,   converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Problème des anniversairesModifier

Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux paradoxe des anniversaires. Lorsqu'on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste   le rang   de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que   Ainsi,   converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Pour n=365, soit 365 boîtes,   s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement) : la probabilité que dans un groupe de   personnes, toutes les dates d'anniversaire soit différentes, est approximativement

 

et vaut donc 1/2 pour un groupe d'approximativement   (soit 22,5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement   (soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).

Notes et référencesModifier