Fonction hypergéométrique confluente

La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) est : désigne le symbole de Pochhammer.

Elle est solution de l'équation différentielle d'ordre deux :

Les fonctions de Bessel, la fonction gamma incomplète, les fonctions cylindre parabolique (en) ou encore les polynômes d'Hermite et les polynômes de Laguerre peuvent être représentés à l'aide de fonctions hypergéométriques confluentes (cf. Slater). Whittaker a introduit des fonctions et qui sont également liées aux fonctions hypergéométriques confluentes.

Résolution de l'équation différentielleModifier

L'équation   peut être résolue à l'aide de la méthode de Frobenius, on choisit l'ansatz :

 

Il vient l’équation :

 

qui devient

 .

Comme le coefficient devant   ne peut pas être annulé par un membre de la somme, il doit être nul, ainsi on trouve que  . On peut donc trouver une relation de récurrence entre les coefficients :

 .

On choisit   et on trouve par exemple,:

 ,

et finalement   qui est bien la fonction hypergéométrique.

BibliographieModifier

Voir aussiModifier