Loi de Dirichlet

loi de probabilité

En probabilité et statistiques, la loi de Dirichlet, souvent notée Dir(α), est une famille de lois de probabilité continues pour des variables aléatoires multinomiales. Cette loi (ou encore distribution) est paramétrée par le vecteur α de nombres réels positifs et tire son nom de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Elle est vue comme la généralisation multinomiale de la loi bêta.

Plusieurs images de la densité de la loi de Dirichlet distribution lorsque K=3 pour différents vecteurs de paramètres α. Dans le sens horaire à partir du coin supérieur gauche : α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).

Densité de probabilitéModifier

 
Illustration du changement de la log-densité avec K=3 lorsque le vecteur α varie de α=(0.3, 0.3, 0.3) à (2.0, 2.0, 2.0), en conservant toutes les composantes individuelles   égales entre elles.

La loi de Dirichlet d'ordre K ≥ 2 de paramètres α1, ..., αK > 0 possède pour densité de probabilité :

 

pour tous les x1, ..., xK > 0 vérifiant x1 + ... + xK-1 < 1, où xK est une abréviation pour 1 – x1 – ... – xK–1. La densité est nulle en dehors de ce simplexe ouvert de dimension (K − 1).

La constante de normalisation est la fonction bêta multinomiale, qui s'exprime à l'aide de la fonction gamma :

 

PropriétésModifier

Soit  , signifiant que les K – 1 premières composantes possèdent la distribution précédente et que

 

Posons  . Alors

 

et

 

En fait, les densités marginales sont des lois bêta :

 

Qui plus est,

 

Le mode de la distribution est le vecteur (x1, ..., xK) avec

 


AgrégationModifier

Si  ,alors  . Cette propriété d'agrégation permet d'obtenir la distribution marginale de   mentionnée plus haut.

Distributions associéesModifier

  • Si, pour  
 , où γ désigne la distribution Gamma, indépendamment
alors
 
et
 
Bien que les Xi ne sont pas indépendants, ils peuvent néanmoins générer un échantillon de   variables aléatoires, distribuées selon une distribution Gamma. Malheureusement, puisque la somme   est perdue lors de la génération de X = (X1, ..., XK), il n'est pas possible de retrouver les variables Gamma initiales.
  • Les marginales d'une loi de Dirichlet sont des lois bêta :
 

Génération de (pseudo-)nombres aléatoires (RNG)Modifier

Une méthode pour obtenir un vecteur aléatoire   à partir de la distribution Dirichlet de dimension K de paramètres   est fournie par la remarque précédente. Tout d'abord, on tire K variables indépendantes   selon des distributions Gamma, chacune avec la densité

 

et on pose finalement

 

Interprétations intuitives des paramètresModifier

Découpage d'une ficelleModifier

Une illustration de la distribution de Dirichlet apparaît lorsque l'on désire découper des ficelles (toutes de longueur initiale 1.0) en K pièces de différentes longueurs, où chaque pièce a, en moyenne, une longueur désignée mais cette longueur est autorisée à varier. Les valeurs α/α0 spécifient les longueurs moyennes des découpes résultant de la distribution. La variance (disparité autour de la moyenne) varie inversement avec α0.

Modèles d'urne et simulations du cas particulier des urnes de PólyaModifier

Considérons une urne contenant K différentes couleurs. Initialement, l'urne contient α1 boules de couleur 1, α2 boules de couleur 2, etc. Procédons alors à N tirages dans l'urne suivant ce protocole : chaque boule tirée est replacée dans l'urne et on y ajoute une boule supplémentaire de même couleur. Lorsque N devient très grand, les proportions des boules de différentes couleurs sont distribuées selon  [1].

Notons que chaque tirage modifie la probabilité d'obtenir une couleur donnée. Cette modification s'atténue d'ailleurs avec le nombre de tirages, puisque l'effet marginal de l'ajout d'une boule supplémentaire diminue avec l'augmentation du nombre total de boules dans l'urne.

RéférencesModifier

  1. D. Blackwell and J. B. MacQueen 1973. Ferguson distributions via Pólya urn schemes. The Annals of Statistics, volume 1, number 2, pp353--355

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

Non-Uniform Random Variate Generation, par Luc Devroye http://cg.scs.carleton.ca/~luc/rnbookindex.html

  • SciencesPo: Un package de R qui contient des fonctions pour simuler des paramètres d'une distribution Dirichlet.