Loi bêta prime

Loi bêta prime
Image illustrative de l’article Loi bêta prime
Densité de probabilité

Image illustrative de l’article Loi bêta prime
Fonction de répartition

Paramètres paramètre de forme
paramètre de forme
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition est la fonction bêta incomplète régularisée
Espérance
Mode
Variance

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta prime (également connue sous les noms loi bêta II ou loi bêta du second type[1]) est une loi de probabilité continue définie dont le support est et dépendant de deux paramètres de forme.

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta prime, on notera .

CaractérisationModifier

Sa densité de probabilité est donnée par :

 

B est la fonction bêta.

Cette loi est une loi de Pearson de type VI[1].

Le mode d'une variable aléatoire de loi bêta prime est  . Sa moyenne est   si   (si   la moyenne est infinie, en d'autres termes elle n'est pas définie pour la loi bêta prime), et sa variance est   si  .

Pour  , le k-ième moment   est donné par

 

Pour   avec  , la formule se simplifie en

 

La fonction de répartition de la loi bêta prime est :

 

  est la fonction hypergéométrique.

GénéralisationModifier

De nouveaux paramètres peuvent être ajoutés pour former la loi bêta prime généralisée :

  paramètre de forme et   paramètre d'échelle.

La densité de probabilité est alors donnée par :

 

avec moyenne

 

et mode

 

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta prime généralisée, on notera  . Si p=q=1, alors la loi bêta prime généralisée est la loi bêta prime standard.

Loi gamma composéeModifier

La loi gamma composée[2] est la loi bêta prime généralisée quand le paramètre d'échelle p=1 et q est quelconque. elle est nommée ainsi car elle est une composition de deux lois gamma dans le sens :

 

G(x;a,b) est la loi gamma avec forme a et intensité b. Cette relation peut être utilisée pour générer des variables aléatoires de loi gamma composée ou de loi bêta prime.

Les mode, moyenne et variance de la loi gamma composée peuvent être obtenus en multipliant les mode et moyenne de la loi bêta prime par q et la variance par q2.

PropriétésModifier

  • Si   alors  .
  • Si   alors  .
  •  

Liens avec d'autres loisModifier

  • Si   alors   (F est la loi de Fisher)
  • Si   alors  
  • Si   et  , alors  .
  •   la loi de Dagum
  •   la loi de Burr
  •   la Loi log-logistique

RéférencesModifier

  1. a et b Johnson et al (1995), p248
  2. (en) Satya D. Dubey, « Compound gamma, beta and F distributions », Metrika, vol. 16,‎ , p. 27–31 (DOI 10.1007/BF02613934, lire en ligne)