Loi de Fisher

Fisher-Snedecor
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ degré de liberté
Support	$x\in [0,+\infty [\!$
Densité de probabilité	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
Fonction de répartition	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!$
Espérance	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ pour $d_{2}>2$
Mode	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!$ pour $d_{1}>2$
Variance	${\tfrac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ pour $d_{2}>4$
Asymétrie	${\tfrac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ pour $d_{2}>6$
Kurtosis normalisé	$12{\tfrac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$ pour $d_{2}>8$
modifier

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue^[1]^,^[2]^,^[3]. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor.

La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que loi de la statistique de test lorsque l'hypothèse nulle est vraie, dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les tests de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test de Fisher.

Caractérisation modifier

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, $U 1$ et $U 2$ , distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement $d 1$ et $d 2$ : $\mathrm {F} (d_{1},d_{2})\sim {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$ .

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, $F (d 1, d 2)$ , est donnée par $f(x)={\frac {\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}}{x\;\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}$ pour tout réel $x \geq 0$ , où $d 1$ et $d 2$ sont des entiers positifs et $B$ est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est : $F(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$ où $I$ est la fonction bêta incomplète régularisée.

La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante^[4]: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors $\mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (F\geq x)$ où F suit une loi de Fisher de paramètres $d_{1}=2(k+1)\,,\,d_{2}=2(n-k)$ avec $x={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}.$

L'espérance, la variance valent respectivement ${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ pour $d 2 > 2$ et ${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ pour $d 2 > 4$ . Pour $d 2 > 8$ , le kurtosis normalisé est $\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$ .

Généralisation modifier

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non-centrée (en).

Lois associées et propriétés modifier

Si $\ X\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ alors $Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X$ est distribuée selon une loi du χ² $\chi _{d_{1}}^{2}$ ;
La loi $\mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ est équivalente à la loi T² de Hotelling $(d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)/d_{2})\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)$ ;
Si $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2}),$ alors la loi inverse est aussi une loi de Fisher ${\frac {1}{X}}\sim F(d_{2},d_{1})$ ;
Si $X\sim \mathrm {t} (d)\!$ est distribuée selon une loi de Student alors $X^{2}\sim \operatorname {F} (1,d)$ ;
Si $X\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ est distribuée selon une loi normale alors $X^{2}\sim \operatorname {F} (1,\infty )$ ;
Si $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$ et $Y={\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}$ alors $Y\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ est distribuée selon une loi bêta;
Si $\operatorname {Q} _{X}(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$ et que $\operatorname {Q} _{Y}(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $Y\sim \operatorname {F} (d_{2},d_{1})$ alors $\operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$ .

Table de valeurs des quantiles modifier

Définition du 95^e centile d'une loi de Fisher-Snedecor.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres ν₁ et ν₂. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de $1-\alpha$ . Ainsi, pour $1-\alpha =0,95$ et $d_{1}=1$ et $d_{2}=3$ , si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table que $P(X\leqslant 10,13)=0,95.$

Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95
$d_{2}$ (dén.)	$d_{1}$ (numérateur)
$d_{2}$ (dén.)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	80	100	200	500	1 000
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	248.02	250.10	251.14	251.77	252.20	252.72	253.04	253.68	254.06	254.19
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.45	19.46	19.47	19.48	19.48	19.48	19.49	19.49	19.49	19.49
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.66	8.62	8.59	8.58	8.57	8.56	8.55	8.54	8.53	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.80	5.75	5.72	5.70	5.69	5.67	5.66	5.65	5.64	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.56	4.50	4.46	4.44	4.43	4.41	4.41	4.39	4.37	4.37
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.87	3.81	3.77	3.75	3.74	3.72	3.71	3.69	3.68	3.67
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.44	3.38	3.34	3.32	3.30	3.29	3.27	3.25	3.24	3.23
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.15	3.08	3.04	3.02	3.01	2.99	2.97	2.95	2.94	2.93
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	2.94	2.86	2.83	2.80	2.79	2.77	2.76	2.73	2.72	2.71
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.77	2.70	2.66	2.64	2.62	2.60	2.59	2.56	2.55	2.54
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.12	2.04	1.99	1.97	1.95	1.92	1.91	1.88	1.86	1.85
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.33	2.27	2.21	2.16	1.93	1.84	1.79	1.76	1.74	1.71	1.70	1.66	1.64	1.63
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.08	1.84	1.74	1.69	1.66	1.64	1.61	1.59	1.55	1.53	1.52
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.03	1.78	1.69	1.63	1.60	1.58	1.54	1.52	1.48	1.46	1.45
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.75	1.65	1.59	1.56	1.53	1.50	1.48	1.44	1.41	1.40
70	3.98	3.13	2.74	2.50	2.35	2.23	2.14	2.07	2.02	1.97	1.72	1.62	1.57	1.53	1.50	1.47	1.45	1.40	1.37	1.36
80	3.96	3.11	2.72	2.49	2.33	2.21	2.13	2.06	2.00	1.95	1.70	1.60	1.54	1.51	1.48	1.45	1.43	1.38	1.35	1.34
90	3.95	3.10	2.71	2.47	2.32	2.20	2.11	2.04	1.99	1.94	1.69	1.59	1.53	1.49	1.46	1.43	1.41	1.36	1.33	1.31
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.31	2.19	2.10	2.03	1.97	1.93	1.68	1.57	1.52	1.48	1.45	1.41	1.39	1.34	1.31	1.30
200	3.89	3.04	2.65	2.42	2.26	2.14	2.06	1.98	1.93	1.88	1.62	1.52	1.46	1.41	1.39	1.35	1.32	1.26	1.22	1.21
300	3.87	3.03	2.63	2.40	2.24	2.13	2.04	1.97	1.91	1.86	1.61	1.50	1.43	1.39	1.36	1.32	1.30	1.23	1.19	1.17
500	3.86	3.01	2.62	2.39	2.23	2.12	2.03	1.96	1.90	1.85	1.59	1.48	1.42	1.38	1.35	1.30	1.28	1.21	1.16	1.14
1 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.11	2.02	1.95	1.89	1.84	1.58	1.47	1.41	1.36	1.33	1.29	1.26	1.19	1.13	1.11
2 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.10	2.01	1.94	1.88	1.84	1.58	1.46	1.40	1.36	1.32	1.28	1.25	1.18	1.12	1.09

Voir aussi modifier

Test de Fisher

Notes et références modifier

↑ (en) Milton Abramowitz (éditeur) et Irene A. Stegun (éditeur), Handbook of Mathematical Functions : With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover Publications, 1972, 1046 p. (ISBN 978-0-486-61272-0, lire en ligne)
↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
↑ (en) Alexander Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, 1974, 3^e éd. (ISBN 978-0-07-042864-5), p. 246-249
↑ E. Morice, « Quelques modèles mathématiques de durée de vie », Revue de statistique appliquée, t. 14, n^o 1,‎ 1966, p. 45-126 (lire en ligne), p. 68

Liens externes modifier

Table of critical values of the F-distribution
Online significance testing with the F-distribution
Distribution Calculator pour calculer les probabilités et les valeurs critiques des lois normales, de Student, du Chi-deux et de la loi de Fisher
Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution
Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution

Portail des probabilités et de la statistique

[1] (en) Milton Abramowitz (éditeur) et Irene A. Stegun (éditeur), Handbook of Mathematical Functions : With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover Publications, 1972, 1046 p. (ISBN 978-0-486-61272-0, lire en ligne)

[2] NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution

[3] (en) Alexander Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, 1974, 3^e éd. (ISBN 978-0-07-042864-5), p. 246-249

[4] E. Morice, « Quelques modèles mathématiques de durée de vie », Revue de statistique appliquée, t. 14, n^o 1,‎ 1966, p. 45-126 (lire en ligne), p. 68

[1]

[2]

[3]

[4]