Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été créées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

Pearson IVModifier

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

 

  • m, ν, a et λ sont des réels ;
  • m > 1/2 ;
  • k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν=0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la loi de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

 

elle présente deux points d'inflexion situés en

 .

Sa moyenne vaut

  pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν=0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

  pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

 

Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VIIModifier

La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

 

M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

 

On a

  • M < 1 : distribution dite super lorentzienne ;
  • M = 1 : distribution de Cauchy/Lorentz (lorentzienne)/Breit-Wigner ;
  • M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utilisée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

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