Lemme de Hadamard

Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

Énoncé

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction de classe $C^{p}$ avec $p\geq 1$. Alors pour tout $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, il existe des fonctions $g_{1},\cdots g_{n}$, de classe $C^{p-1}$ telles que pour tout $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$,

$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})g_{i}(x).$

Démonstration

On a $f(x)-f(a)=\int _{0}^{1}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))~{\rm {d}}t$ (second théorème fondamental de l'analyse).

Mais ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))$ (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec $g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))~{\rm {d}}t$ qui est $C^{p-1}$ en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

Remarques

• On a nécessairement $g_{i}(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)$.
• Les fonctions $g_{i}$ ne sont pas uniques.