Lemme de Hadamard

Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

ÉnoncéModifier

Soit   une fonction de classe   avec  . Alors pour tout  , il existe des fonctions  , de classe   telles que pour tout  ,

 

DémonstrationModifier

On a   (second théorème fondamental de l'analyse).

Mais   (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec   qui est   en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

RemarquesModifier

  • On a nécessairement  .
  • Les fonctions   ne sont pas uniques.