En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration.
Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier.
La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque toutω ∈ Ω, sous réserve que l'espace mesuré soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable g telle que pour chaque élément t de Tappartenant à un certain voisinage de x on ait : presque partout.
Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
L'énoncé ci-dessus, même ainsi renforcé, reste vrai quand T et x sont une partie et un élément d'un espace métrique autre que ℝ (par exemple ℝ ou ℝ2).
Démonstration
Soit une suite dans T qui converge vers x. La suite de fonctions intégrables converge simplement vers φ et l'on a, par la seconde hypothèse :
.
Le théorème de convergence dominée entraîne alors l'intégrabilité de φ et les relations :
Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que x appartient à T (donc pour tout ω ∈ Ω, est continue au point x et ), on en déduit que F est continue en x.
Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur T × Ω avec T partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et Ωfermé borné d'un espace euclidien, alors F est définie et continue sur T.
Démonstration
Pour tout élément t de T, est continue sur le compactΩ, donc intégrable sur Ω pour la mesure de Lebesgue, si bien que F est définie sur T.
Soit x ∈ T. Pour tout ω ∈ Ω, est continue sur T. De plus, si K est un voisinage compact de x dans T alors, par continuité de f, il existe une constante M telle que :
En prenant g = M dans la proposition précédente, cela prouve que F est continue en x.
La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz).
Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (f est continue sur T × Ω avec T partie localement compacte de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que est définie et continue sur T × Ω, alors F est de classe C1 sur T et pour tout x ∈ T, on a :
Démonstration
Soit K un compact de T. Par continuité de sur le compact T × Ω, il existe une constante M telle que :
En prenant g = M dans la proposition précédente, cela prouve que F est dérivable (avec la formule annoncée) sur tout compact K de T, donc sur T.
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.
Soit f : ℝ2 → ℝn telle que f et soient continues sur ℝ2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) F définie sur ℝ par :
est dérivable et
Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x) = a et b(x) = x.
Soient par exemple X une partie de ℝp, Y une partie de ℝq, et
une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par
est intégrable sur X, et l'on a :
(et même chose en intervertissant les rôles de x et y).
Fixons a > 0, et soient F et g définies sur ]0,+∞[ par :
.
On a clairement F(a) = g(a) = 0. Il suffit donc de montrer que leurs dérivées sont égales pour tout b > 0 pour vérifier l'identité.
En appliquant la règle de Leibniz pour F, on a :
.
Exemple :
Soient X = [0 ; 2], Y = [1 ; 3] et f définie sur X × Y par f(x,y) = x2 + y. Elle est intégrable sur X × Y puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :