Calcul différentiel

branche des mathématiques

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales de différentes quantités. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral - l'étude de l'aire sous une courbe[1].

Les principaux objets d'étude en calcul différentiel sont la dérivée d'une fonction, et des notions connexes telles que la différentielle, et leurs applications. La dérivée d'une fonction en un point décrit le taux de variation de la fonction près de ce point. Le processus de recherche d'une dérivée s'appelle la dérivation. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeur réelle est la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en ce point. Plus généralement, la différentielle d'une fonction en un point détermine la meilleure approximation linéaire de la fonction autour de ce point.

Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorème fondamental de l'analyse, qui stipule que la dérivation est le processus inverse de l'intégration.

La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs. En physique, la dérivée de la position d'un objet par rapport au temps est sa vitesse, et la dérivée de la vitesse est l'accélération. D'après la deuxième loi de Newton, la dérivée du vecteur vitesse d'un objet par rapport au temps multiplié par la masse de cet objet est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement . En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par une dérivée de concentration des espèces impliquées. En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les maxima et minima d'une fonction. Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles et sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels. Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie des mesures et l'algèbre abstraite.

DérivéeModifier

 
Le graphe d'une fonction arbitraire  . La ligne orange est tangente à  , ce qui signifie qu'en ce point exact, la pente de la courbe et la ligne droite sont les mêmes.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) « Definition of INTEGRAL CALCULUS », www.merriam-webster.com (consulté le )