Calcul différentiel

branche des mathématiques

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales de différentes quantités. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral - l'étude de l'aire sous une courbe[1].

Les principaux objets d'étude en calcul différentiel sont la dérivée d'une fonction, des notions connexes telles que la différentielle et leurs applications. La dérivée d'une fonction en un point décrit le taux de variation de la fonction près de ce point. Le processus de recherche d'une dérivée s'appelle la dérivation. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeurs réelles est la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en ce point. Plus généralement, la différentielle d'une fonction en un point détermine la meilleure approximation linéaire de la fonction autour de ce point.

Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorème fondamental de l'analyse : la dérivation est le processus inverse de l'intégration.

La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs.

En mécanique, la dérivée de la position d'un objet par rapport au temps est sa vitesse et la dérivée de la vitesse est l'accélération. D'après la deuxième loi de Newton, appelée principe fondamental de la dynamique, la masse - supposée constante - d'un objet multipliée par la dérivée du vecteur vitesse d'un objet par rapport au temps est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement .

En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par une dérivée de concentration des espèces impliquées.

En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les maxima et minima d'une fonction. Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels. Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'algèbre abstraite.

DérivéeModifier

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de l’image de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Le calcul de dérivées est un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet.

La dérivée d'une fonction   est une fonction qui, à tout nombre pour lequel   admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La différentielle généralise l'idée de dérivée en un point aux fonction de plusieurs variables, ou à valeurs vectorielles, et n'est pas traitée ici.

La dérivée d'une fonction   en   est usuellement notée   ou  .

Définition mathématique de la dérivéeModifier

Soit   une application de   un intervalle réel dans l'ensemble des nombres réels. On dira que   est dérivable en un point   si le taux d'accroissement de   en   de pas   admet une limite quand   tend vers  , notée   :

 
De plus, sous réserve de son existence, on appelle   la dérivée de   en  , ce qui est noté   ou encore  . Enfin, si, pour tout  , la fonction   admet une dérivée en   on dit que   est dérivable sur   et on définit la fonction dérivée de   comme l'application :
 
 
Le graphe d'une fonction arbitraire  . La ligne orange est tangente à  , ce qui signifie qu'en ce point exact, la pente de la courbe et la ligne droite sont les mêmes.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) « Definition of INTEGRAL CALCULUS », www.merriam-webster.com (consulté le )