Lemme d'estimation

En mathématiques, le lemme d'estimation (aussi appelé lemme d'estimation standard[1]) donne un majorant (du module) d'une intégrale curviligne complexe. Ce lemme est très utilisé en analyse complexe pour montrer que l'intégrale le long d'une partie d'un contour tend vers zéro en passant à une certaine limite. On peut ainsi calculer exactement certaines intégrales en utilisant le théorème des résidus.

ÉnoncéModifier

 
Figure 1: Illustration de l'approximation de l'intégrale curviligne le long d'un chemin   (en rouge) par une somme des valeurs atteintes en n points   appartenant à n-1 petits arcs formant le chemin.
La somme des longueurs des cordes (en bleu) donne une approximation de la longueur du chemin.

Si f est une fonction d'une variable complexe et à valeurs complexes, continue sur le chemin rectifiable  , on a :

 

  est la longueur du chemin rectifiable. À noter que la borne supérieure existe et est atteinte (c'est donc un maximum) car l'image d'un chemin rectifiable est compacte et f est continue. Attention ici à ne pas confondre   qui désigne ici l'image du chemin  , c'est-à-dire un sous-ensemble de  , avec la partie imaginaire de  .

On peut justifier intuitivement le lemme comme suit : en subdivisant le chemin   en n-1 petits arcs d'extrémités successives  , on approche l'intégrale curviligne par une somme de Riemann :

 

  est un point arbitraire de l'arc joignant   à  . Le module de chaque terme de la somme est majoré par  , où M est le maximum de   sur   et   est la longueur de la corde joignant   à  . Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur du chemin  , on peut s'attendre[Note 1] à la majoration  .

DémonstrationModifier

Soit  , un chemin de classe   par morceaux, on a :

 

ce que l'on peut majorer comme suit :

 

En majorant le module de f sur le chemin et par définition de la longueur d'un arc, on a :

 

d'où finalement :

 

Exemple d'utilisationModifier

 
Figure 2 : Illustration du chemin   utilisé dans l'exemple.

On cherche à montrer que

 

Pour cela, on considère un lacet constitué de deux parties : une première est le demi-cercle de centre 0 et de rayon  , contenu dans le plan supérieur, parcouru dans le sens direct que l'on note   (illustré à la figure 2 ci-contre) et la seconde est le segment  . Notons   l'intégrande de l'intégrale que nous cherchons à calculer, c'est-à-dire

 

C'est une fonction méromorphe sur   dont les pôles (doubles) sont situés en  . Seul le pôle en   est à l'intérieur du lacet et le résidu en ce point est :

 

où la dérivée d'ordre 1 vient du fait que le pôle est double.

D'après le théorème des résidus, quel que soit a > 1 :

 

On cherche ensuite à passer à la limite quand  , on a besoin de trouver en fonction de a un majorant pour :

 

que l'on va obtenir grâce au lemme d'estimation. La longueur du chemin est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon a ; on a donc :

 

On cherche ensuite un majorant Ma pour le module de l'intégrande sur le chemin. Par inégalité triangulaire, on a :

 

Par conséquent, sur le chemin  ,

 

Ainsi,   :

 

En appliquant le lemme, on a donc :

 

Il en résulte que

 

Par passage à la limite   dans  , on en déduit la relation annoncée.

Voir aussiModifier

NotesModifier

  1. en utilisant l'inégalité triangulaire, à savoir que   pour des   réels ou complexes.

RéférencesModifier

(en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999, 4e éd. (ISBN 0-387-98592-1)