Ouvrir le menu principal
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Résidu.

En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826.

Définition et propriétésModifier

Soit   un ouvert de  ,   un ensemble dans   de points isolés et   une fonction holomorphe. Pour chaque point  , il existe un voisinage de   noté   relativement compact dans  , tel que   est holomorphe. La fonction   possède dans ce cas un développement de Laurent sur   :

 .

On définit alors le résidu de   en   par :

 

Le résidu d'une fonction holomorphe   en un point singulier   (pôle ou point singulier essentiel) est donc  , c'est-à-dire le coefficient de   dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de  .

Le résidu est  -linéaire, c’est-à-dire que pour   on a :  .

Méthodes de calculModifier

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

  • soit à partir du développement de Laurent au voisinage de   ;
  • soit en utilisant la formule générale suivante, si   possède en   un pôle d'ordre   :
 

Pour deux fonctions   et   à valeurs dans  , on a également les relations suivantes :

  • Si   a en   un pôle d'ordre 1 :   ;
  • Si   a en   un pôle d'ordre 1 et si   est holomorphe en   :   ;
  • Si   a en   un zéro d'ordre 1 :   ;
  • Si   a en   un zéro d'ordre 1 et si   est holomorphe en   :   ;
  • Si   a en   un zéro d'ordre   :   ;
  • Si   a en   un zéro d'ordre   et si   est holomorphe en   :   ;
  • Si   a en   un pôle d'ordre   :   ;
  • Si   a en   un pôle d'ordre   et si   est holomorphe en   :  .

ExemplesModifier

  •   quand   est holomorphe en  .
  • Soit  .   a en   un pôle d'ordre 1, et  .
  •   au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1.
  •  , comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque   a en 1 un zéro d'ordre 1.
  • La fonction gamma a en   pour tout   un pôle d'ordre 1, et le résidu vaut  .

Théorème des résidusModifier

Article détaillé : Théorème des résidus.

Soit   une fonction holomorphe sur  , un ouvert étoilé, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble  . Alors si   est un lacet tracé dans   et ne rencontrant pas  , on a :

 

  est l'indice du chemin   au point  .

RéférencesModifier

  • Claude Wagschal, Fonctions holomorphes. Équations différentielles, Hermann, coll. « Méthodes », 2003, p. 119-120.
  • Augustin Louis Cauchy, Exercices de mathématiques, 1826, p. 11 Voir en ligne
(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Residuum (Funktionentheorie) » (voir la liste des auteurs).