Lemme d'Itō

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

HistoireModifier

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itô dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

ÉnoncéModifier

Soit un processus d'Itô   processus stochastique de la forme

 

autrement formulé, on a

 

avec   et   deux processus aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus   (mouvement brownien).

Si   est une fonction de classe   alors la formule d'Itô s'écrit

 

Un exemple : le modèle Black-ScholesModifier

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

 

  •   est le prix de l'action sous-jacente,
  •   (constant) est le taux de dérive (en) du prix de l'action,
  •   (constante) est la volatilité du prix de l'action,
  •   est un mouvement brownien.

Si   alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

 

En posant   on obtient grâce à la formule d'Itô :

 

On peut alors intégrer et il en découle que :

 

ApplicationsModifier

En calcul stochastique,

  • Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

RéférencesModifier

  • C. G. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods (3e éd.), Springer, 2004. (ISBN 3-540-20882-8)
  • I. Karatzas et S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Mathematics (2e éd.), Springer, 2004. (ISBN 0-387-97655-8).
  • B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications (6e éd.), Springer, 2005. (ISBN 3-540-04758-1)
  • (ouvrage de vulgarisation) G. Pagès et C. Bouzitat. En passant par hasard… les probabilités de tous les jours, Vuibert, 1999. (ISBN 2-7117-5258-5)
  • D. Revuz et M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, (3e éd.), Springer, 2004. (ISBN 3-540-64325-7)
  • L.C.G. Rogers et D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales (2e éd.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000. (ISBN 0-521-77593-0)
  • (en) Karlin S, Taylor H M : A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, (1975)
  • (en) Karlin S, Taylor H M : A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, (1981)
  • (en) Schuss Z : Theory And Applications of Stochastic Differential Equations. Wiley Series in Probability and Statistics, (1980)