Lemme de Gauss (théorie des nombres)

Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique[1],[2] et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi[3].

ÉnoncéModifier

Soient   un nombre premier impair et   un entier non divisible par  . Alors

 ,

  est le symbole de Legendre et   est défini de la façon suivante :

On considère les entiers   et leurs plus petits résidus positifs  .

Parmi ces   entiers distincts compris entre   et  ,   est le nombre de ceux qui sont plus grands que  .

ou encore, de façon équivalente :

  est le nombre d'entiers négatifs parmi  , en désignant par  , pour tout entier  , l'unique entier de l'intervalle   congru à  .

ApplicationModifier

La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss[4].

PreuveModifier

Une preuve assez simple de ce lemme[5] utilise le même principe que l'une des démonstrations du petit théorème de Fermat, en évaluant de deux façons le produit modulo p de ces (p – 1)/2 entiers.

Autre preuve, par la théorie du transfertModifier

De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à amm désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Gauss lemma » (voir la liste des auteurs) et « Gauss's lemma (number theory) » (voir la liste des auteurs).
  1. (la) C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808.
  2. (la) C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818.
  3. (en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws : from Euler to Eisenstein, Berlin/New York, Springer, , 487 p. (ISBN 978-3-540-66957-9, lire en ligne), chap. 1.
  4. Voir par exemple (en) Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers, CUP, (lire en ligne), p. 29, repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
  5. Voir par exemple (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, , 340 p. (ISBN 978-0-387-90163-3, lire en ligne), p. 182-183, repris dans le lien ci-dessous vers la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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Lemme de Zolotarev