Itération du quotient de Rayleigh

En mathématiques, l'itération du quotient de Rayleigh est une méthode numérique qui étend l'idée de la méthode de la puissance inverse en utilisant le quotient de Rayleigh pour obtenir des estimations sur les valeurs propres de plus en plus précises.

L'itération du quotient de Rayleigh est une méthode itérative, c'est-à-dire qu'elle fournit une suite de solutions approchées convergeant vers une vraie solution à la limite. Heureusement pour cette méthode une convergence très rapide est garantie et il suffit de quelques itérations dans la pratique pour obtenir une approximation raisonnable. L'algorithme d'itération du quotient de Rayleigh converge de façon cubique pour les matrices hermitiennes (ou les matrices symétriques), si le vecteur initial de l'itération est suffisamment proche d'un vecteur propre de la matrice que l'on cherche à analyser.

Algorithme

L'algorithme est très similaire à la méthode de la puissance inverse, mais remplace l'estimation de la valeur propre à la fin de l'itération par le quotient de Rayleigh.

On commence par choisir une certaine valeur μ₀ comme première estimation d'une valeur propre μ d'une matrice hermitienne A. On doit également choisir un vecteur initial b₀ qui est une première estimation d'un vecteur propre b associé à la valeur propre que l'on souhaite calculer.

Pour calculer les prochaines estimations μ_i+1 et b_i+1 de la valeur propre μ et de son vecteur propre associé b à partir des estimations μ_i et b_i, on commence par calculer

$b_{i+1}={\frac {(A-\mu _{i}I)^{-1}b_{i}}{||(A-\mu _{i}I)^{-1}b_{i}||}},$

où I est la matrice identité puis on définit

$\mu _{i}={\frac {b_{i}^{*}A\,b_{i}}{b_{i}^{*}\ b_{i}}}.$

À noter que dans le calcul de b_i+1, il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de A – μ_iI mais seulement de résoudre le système linéaire (A – μ_iI)x = b_i.

Pour calculer plus d'une valeur propre à la fois, on peut combiner cet algorithme avec une technique de déflation.

Exemple

Considérons la matrice

$A=\left[{\begin{matrix}1&2&3\\1&2&1\\3&2&1\\\end{matrix}}\right]$

qui admet comme valeurs propres

$\lambda _{1}=3+{\sqrt {5}},\,\lambda _{2}=3-{\sqrt {5}},\,\lambda _{3}=-2,$

avec des vecteurs propres correspondants

$v_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\\varphi -1\\1\\\end{matrix}}\right],\quad v_{2}=\left[{\begin{matrix}1\\-\varphi \\1\\\end{matrix}}\right]\quad {\text{et}}\quad v_{3}=\left[{\begin{matrix}-1\\0\\1\\\end{matrix}}\right]$

où

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

est le nombre d'or.

La plus grande valeur propre est donc

$\lambda _{1}\approx 5,2361.$

On commence par choisir comme premières estimations

$b_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}}\right],\,\mu _{0}=200.$

Alors la première estimation donne

$b_{1}\approx \left[{\begin{matrix}-0,57927\\-0,57348\\-0,57927\\\end{matrix}}\right],~\mu _{1}\approx 5,3355$

puis la deuxième

$b_{2}\approx \left[{\begin{matrix}0,64676\\0,40422\\0,64676\\\end{matrix}}\right],~\mu _{2}\approx 5,2418$

puis la troisième

$b_{3}\approx \left[{\begin{matrix}-0,64793\\-0,40045\\-0,64793\\\end{matrix}}\right]=-0,64793\left[{\begin{matrix}1\\0,618\\1\\\end{matrix}}\right],~\mu _{3}\approx 5,2361.$

ce qui illustre la convergence cubique de la méthode.

Voir aussi

• Algorithme de recherche de valeur propre
• Méthode de la puissance itérée

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rayleigh quotient iteration » (voir la liste des auteurs).
• Lloyd N. Trefethen and David Bau, III, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. (ISBN 0-89871-361-7).
• Rainer Kress, "Numerical Analysis", Springer, 1991. (ISBN 0-387-98408-9)