Inégalité de Maclaurin

En mathématiques, l'inégalité de Maclaurin est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

ÉnoncéModifier

Soient a1, a2, … , an des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes Sk définies par

 

Le numérateur de cette fraction est le polynôme symétrique élémentaire de degré k en les n variables a1, a2, … , an, c'est-à-dire la somme de tous les produits de k d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

 

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.

ExemplesModifier

L'inégalité   est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des n nombres.

Pour n = 4, les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)

 

DémonstrationModifier

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S0 = 1)

 

En effet,   se simplifie en   qui équivaut à   Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.

RéférencesModifier

Articles connexesModifier