Inégalité de Muirhead

En mathématiques, l'inégalité de Muirhead, appelée ainsi d'après Robert Franklin Muirhead, est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Définitions préliminairesModifier

La « a-moyenne »Modifier

Soit a = (a1, ..., an) une suite de nombres réels.

Pour toute suite x1,...,xn de nombres réels positifs, on définit la a-moyenne, notée [a], de x1,...,xn par :

 

où la somme est étendue à toutes les permutations σ de {1, ..., n}.

Pour a = (1, 0, ..., 0), on obtient la moyenne arithmétique de x1,...,xn. Pour a = (1/n, 1/n, ..., 1/n), c'est la moyenne géométrique de x1,...,xn. Quand n = 2, il s'agit de la moyenne de Heinz (en).

Matrices bistochastiquesModifier

Une matrice carrée P est bistochastique ou doublement stochastique si à la fois P et sa transposée sont des matrices stochastiques. Ainsi, une matrice est bistochastique si ses éléments sont non négatifs, et si la somme des éléments sur chaque ligne et sur chaque colonne est égale à 1.

L'inégalité de MuirheadModifier

Inégalité de Muirhead — On a   pour toute suite   si et seulement s'il existe une matrice bistochastique P telle que a = Pb.

La démonstration utilise le fait que toute matrice bistochastique est la moyenne pondérée de matrices de permutation (cet énoncé constitue le théorème de Birkhoff-von Neumann). Une démonstration se trouve par exemple dans le livre de Hardy, Littlewood et Pólya 1952, sections 2.18 et 2.19.

Une autre formulationModifier

À cause de la symétrie dans la somme, on peut supposer que les suites a et b sont décroissantes :

 

On peut montrer que l'existence d'un matrice bistochastique P telle que a = Pb est alors équivalente au système d'inégalités :   pour k = 1,...,n, avec égalité pour k = n, en d'autres termes, au fait que la suite b majorise a. On peut donc énoncer :

Inégalité de Muirhead (autre formulation) — Si les suites a et b sont décroissantes, on a   pour toute suite x1,...,xn si et seulement b majorise a.

L'inégalité arithmético-géométrique comme conséquenceModifier

On se sert de la deuxième formulation de l'inégalité. Posons  

Alors   Donc a majorise g. Il en résulte que  , ce qui s'écrit :

 .

On retrouve ainsi précisément l'inégalité arithmético-géométrique.

Autres exemplesModifier

NotationModifier

Dans les calculs, une notation spéciale pour la sommation peut s'avérer utile. On écrit

 

à la place de la notation

 

où la sommation est sur toutes les permutations. Ainsi

 

Exemples d'emploiModifier

Pour prouver que

 

on transforme l'inégalité en une somme symétrique :

 

Comme la suite (2, 0) majorise (1, 1), on obtient l'inégalité par Muirhead.

Un deuxième exemple est :

 .

On part de :

 

qui est vrai parce que (3, 0, 0) majorise la suite (1, 1, 1). La sommation sur les six permutations réduit l'inégalité à :

 

d'où le résultat recherché.

RéférencesModifier

Lien externeModifier

(en) « Muirhead's theorem », sur PlanetMath