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Inégalité arithmético-géométrique

Inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique de n réels strictements positifs

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

ÉnoncéModifier

La moyenne géométrique de   réels strictement positifs   est inférieure à leur moyenne arithmétique :

 ,

avec égalité (si et) seulement si  .

DémonstrationModifier

Les deux réels   (moyenne arithmétique) et   (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

 

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

 

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0,...0) et (1/n,....,1/n).

GénéralisationModifier

PondérationModifier

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

Si   et   alors, en notant   :

 

avec égalité si et seulement si tous les   sont égaux.

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun   n'est nul et en notant   (strictement positifs et de somme  ), l'inégalité équivaut (voir supra) à

 ,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

MaclaurinModifier

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

 

Et on peut généraliser :

 

soit  

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier