Inégalité de Carleman

Théorème

L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922[1] et portant sur les séries à termes positifs :

La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité modifier

Soit pour tout  ,  . Observons que  , et donc  . Soit  . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

 

Une inversion de somme conduit alors à

 

Or la suite de nombres rationnels   croît vers le nombre irrationnel e, donc   pour tout  . D'où

 

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite   ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Si l'on considère

 

alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à  HN est le N-ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque   d'après la formule de Stirling, l'équivalent

 

lorsque  . Ceci montre que la constante   est la meilleure possible.

Note et référence modifier

  1. T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, p. 181-196.

Articles connexes modifier