L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922[ 1] et portant sur les séries à termes positifs :
∑ n = 1 + ∞ ( ∏ k = 1 n a k ) 1 / n ≤ e ∑ n = 1 + ∞ a n . {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leq {\rm {e}}\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}.}
La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.
Démonstration de l'inégalité
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Soit pour tout n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} , c n = ( n + 1 ) n n n − 1 {\displaystyle c_{n}={\frac {(n+1)^{n}}{n^{n-1}}}} . Observons que c 1 c 2 ⋯ c n = ( n + 1 ) n {\displaystyle c_{1}c_{2}\cdots c_{n}=(n+1)^{n}} , et donc ( c 1 c 2 ⋯ c n ) 1 / n = n + 1 {\displaystyle (c_{1}c_{2}\cdots c_{n})^{1/n}=n+1} . Soit N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique ,
∑ n = 1 N ( ∏ k = 1 n a k ) 1 / n = ∑ n = 1 N 1 n + 1 ( ∏ k = 1 n a k c k ) 1 / n ≤ ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) ∑ k = 1 n a k c k . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n+1}}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}\right)^{1/n}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}.\end{aligned}}}
Une inversion de somme conduit alors à
∑ n = 1 N ( ∏ k = 1 n a k ) 1 / n ≤ ∑ k = 1 N ( ∑ n = k N 1 n ( n + 1 ) ) a k c k = ∑ k = 1 N ( 1 k − 1 N + 1 ) a k c k ≤ ∑ k = 1 N a k c k k . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&\leq \sum _{k=1}^{N}\left(\sum _{n=k}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\right)a_{k}c_{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{N+1}}\right)a_{k}c_{k}\\&\leq \sum _{k=1}^{N}a_{k}{\frac {c_{k}}{k}}.\end{aligned}}}
Or la suite de nombres rationnels c k k = ( 1 + 1 k ) k {\displaystyle \textstyle {\frac {c_{k}}{k}}=(1+{\frac {1}{k}})^{k}} croît
vers le nombre irrationnel e , donc c k k < e {\displaystyle {\frac {c_{k}}{k}}<\mathrm {e} } pour tout k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} . D'où
∑ n = 1 N ( ∏ k = 1 n a k ) 1 / n ≤ e ∑ k = 1 N a k , {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leq \mathrm {e} \sum _{k=1}^{N}a_{k},}
et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la
suite ( a k ) k ≥ 1 {\displaystyle (a_{k})_{k\geq 1}} ne soit identiquement nulle.
L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.
Si l'on considère
a n := { 1 n , si n ≤ N , 0 , si n > N , {\displaystyle a_{n}:={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&{\text{si }}n\leq N,\\[.4em]0,&{\text{si }}n>N,\end{cases}}}
alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à e H N {\displaystyle \mathrm {e} H_{N}} où HN est le N -ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque ( n ! ) 1 n ∼ n e {\displaystyle {(n!)}^{\frac {1}{n}}\sim {\frac {n}{e}}} d'après la formule de Stirling , l'équivalent
∑ n = 1 N ( n ! ) − 1 n ∼ e ∑ n = 1 N 1 n = e H N {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{(n!)}^{-{\frac {1}{n}}}\sim \mathrm {e} \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\mathrm {e} H_{N}}
lorsque N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } . Ceci montre que la constante e {\displaystyle \mathrm {e} } est la meilleure possible.
Note et référence
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↑ T. Carleman , « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922 , p. 181-196 .
Articles connexes
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