Icosaèdre tronqué

Icosaèdre tronqué

Éléments

Faces	Arêtes	Sommets
32 (20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers)	90	60 de degré 3

Type	Solide d'Archimède
Caractéristique	2
Propriétés	Semi-régulier et convexe, zonoèdre
Groupe de symétrie	A5 × C2
Dual	Pentakidodécaèdre

Patron (géométrie)

L'icosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes.

Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre avec une troncature sur les 12 sommets telle qu'un tiers de chaque arête est enlevé à chaque extrémité. Ceci crée 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers. Ainsi, la longueur des arêtes est un tiers de la longueur des arêtes originales.

Sommaire

Coordonnées canoniques

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont respectivement les rectangles orthogonaux, les pavés orthogonaux, puis le long des pavés orthogonaux :

$\left(0,\pm 1,\pm 3\varphi \right),\left(\pm 1,\pm 3\varphi ,0\right),\left(\pm 3\varphi ,0,\pm 1\right)$

$\left(\pm 2,\pm (1+2\varphi ),\pm \varphi \right),\left(\pm (1+2\varphi ),\pm \varphi ,\pm 2\right),\left(\pm \varphi ,\pm 2,\pm (1+2\varphi )\right)$

$\left(\pm 1,\pm (2+\varphi ),\pm 2\varphi \right),\left(\pm (2+\varphi ),\pm 2\varphi ,\pm 1\right),\left(\pm 2\varphi ,\pm 1,\pm (2+\varphi )\right)$

où $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le nombre d'or. En utilisant $\varphi ^{2}=\varphi +1$, on vérifie que tous ces sommets sont sur une sphère de rayon ${\sqrt {9\varphi +10}}$, centrée à l'origine.

Relations géométriques

L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :

32 + 60 − 90 = 2.

Avec des arêtes égales à l'unité, la surface est (arrondie) de 21 pour les pentagones et 52 pour les hexagones, faisant 73 en tout (voir aires des polygones réguliers).

Applications

Comparé à un ballon de football.

Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la balle.

Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans les bombes atomiques Gadget et Fat Man.

L'icosaèdre tronqué est aussi utilisé comme un modèle de la molécule de buckminsterfullerène (C₆₀). Les diamètres du ballon de football et de la molécule de buckminsterfullerène sont respectivement de 22 cm et d'environ 1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.

L'icosaèdre tronqué dans les arts

Un icosaèdre tronqué avec des « arêtes solides » est un dessin de Lucas Pacioli illustrant La Divine Proportion.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « nom Truncated icosahedron » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Ballon de football hyperbolique (en)
• Dodécaèdre
• Dodécaèdre tronqué
• Fullerène
• Icosidodécaèdre
• Polyèdre uniforme
• Triacontaèdre rhombique tronqué

Liens externes

• « Icosaèdre tronqué », sur Mathcurve
• (en) Eric W. Weisstein, « Truncated Icosahedron », sur MathWorld
• (en) Patron en papier d'un icosaèdre tronqué
• (en) Icosaèdre tronqué bondissant Réalité virtuelle (JVM nécessaire)

Bibliographie

(en) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979 (ISBN 0-486-23729-X)